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Ejemplo, cómo hallar puntos de intersección

Problema n° 5 de ecuaciones de segundo grado

Enunciado del ejercicio n° 5

Resolver los siguientes sistemas:

a)

y = x² + 4·x
3·x + 2 = y

b)

(x + 5)² = y + 2
y = 3·x + 13

Solución

Al resolver los sistemas hallaremos los puntos de intersección de las curvas.

a)

y = x² + 4·x
3·x + 2 = y

Resolvemos el sistema por el método de igualación:

x² + 4·x = 3·x + 2

Igualamos a cero:

x² + 4·x - 3·x - 2 = 0

x² + x - 2 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = 1

c = -2

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-1 ± 1² - 4·1·(-2)
2·1
x1,2 =-1 ± 1 + 8
2
x1,2 =-1 ± 9
2
x1,2 =-1 ± 3
2
x1 =-1 + 3
2
x1 =2
2

x1 = 1

x2 =-1 - 3
2
x2 =-4
2

x2 = -2

Con los valores hallados calculamos "y" para cada caso:

y1 = x1² + 4·x1

y2 = x2² + 4·x2

y1 = 1² + 4·1

y1 = 1 + 4

y1 = 5

y2 = (-2)² + 4·(-2)

y2 = 4 - 8

y2 = -4

Resultado, los puntos de intersección de las curvas son:

P1(1; 5)

P2(-2; -4)

b)

(x + 5)² = y + 2
y = 3·x + 13

Resolvemos el sistema por el método de igualación despejando "y":

(x + 5)² = y + 2

(x + 5)² - 2 = y

(x + 5)² - 2 = 3·x + 13

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

x² + 10·x + 25 - 2 = 3·x + 13

Igualamos a cero:

x² + 10·x + 25 - 2 - 3·x - 13 = 0

x² + 7·x + 10 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = 7

c = 10

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-7 ± 7² - 4·1·10
2·1
x1,2 =-7 ± 49 - 40
2
x1,2 =-7 ± 9
2
x1,2 =-7 ± 3
2
x1 =-7 + 3
2
x1 =-4
2

x1 = -2

x2 =-7 - 3
2
x2 =-10
2

x2 = -5

Con los valores hallados calculamos "y" para cada caso:

y1 = 3·x1 + 13

y2 = 3·x2 + 13

y1 = 3·(-2) + 13

y1 = -6 + 13

y1 = 7

y2 = 3·(-5) + 13

y2 = -15 + 13

y2 = -2

Resultado, los puntos de intersección de las curvas son:

P1(-2; 7)

P2(-5; -2)

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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