Ejemplo, cómo hallar puntos de intersección

Problema n° 5 de ecuaciones de segundo grado

Enunciado del ejercicio n° 5

Resolver los siguientes sistemas:

a)

y = x² + 4·x
3·x + 2 = y

b)

(x + 5)² = y + 2
y = 3·x + 13

Solución

Al resolver los sistemas hallaremos los puntos de intersección de las curvas.

a)

y = x² + 4·x
3·x + 2 = y

Resolvemos el sistema por el método de igualación:

x² + 4·x = 3·x + 2

Igualamos a cero:

x² + 4·x - 3·x - 2 = 0

x² + x - 2 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = 1

b = 1

c = -2

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x₁ = 1

x₂ = -2

Con los valores hallados calculamos "y" para cada caso:

y₁ = x₁² + 4·x₁

y₂ = x₂² + 4·x₂

y₁ = 1² + 4·1

y₁ = 1 + 4

y₁ = 5

y₂ = (-2)² + 4·(-2)

y₂ = 4 - 8

y₂ = -4

Resultado, los puntos de intersección de las curvas son:

P₁(1; 5)

P₂(-2; -4)

b)

(x + 5)² = y + 2
y = 3·x + 13

Resolvemos el sistema por el método de igualación despejando "y":

(x + 5)² = y + 2

(x + 5)² - 2 = y

(x + 5)² - 2 = 3·x + 13

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

x² + 10·x + 25 - 2 = 3·x + 13

Igualamos a cero:

x² + 10·x + 25 - 2 - 3·x - 13 = 0

x² + 7·x + 10 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = 1

b = 7

c = 10

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x₁ = -2

x₂ = -5

Con los valores hallados calculamos "y" para cada caso:

y₁ = 3·x₁ + 13

y₂ = 3·x₂ + 13

y₁ = 3·(-2) + 13

y₁ = -6 + 13

y₁ = 7

y₂ = 3·(-5) + 13

y₂ = -15 + 13

y₂ = -2

Resultado, los puntos de intersección de las curvas son:

P₁(-2; 7)

P₂(-5; -2)

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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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