Problema n° 18 de ecuaciones de primer grado - TP02
Enunciado del ejercicio n° 18
Resolver la siguiente ecuación hallando el valor de "x":
| 2 | - | 1 | = - | x² | + | 2 |
| x³ - x² + x - 1 | x² + 1 | x4 - 1 | x³ - x² - x + 1 |
Solución
| 2 | - | 1 | = - | x² | + | 2 |
| x³ - x² + x - 1 | x² + 1 | x4 - 1 | x³ - x² - x + 1 |
Observando los denominadores del primer miembro y del cuarto miembro notamos que son polinomios divisibles por "x - 1", ya que haciendo x = 1 dichos polinomios se anulan. Dividimos:
(x³ - x² + x - 1)÷(x - 1) =
| x³ | - x² | + x | - 1 | x - 1 |
| - x³ | + x² | ↓ | ↓ | x² + 1 |
| 0 | 0 | + x | - 1 | |
| - x | + 1 | |||
| R = | 0 | 0 | ||
(x³ - x² + x - 1) = (x - 1)·(x² + 1)
(x³ - x² - x + 1)÷(x - 1) =
| x³ | - x² | - x | + 1 | x - 1 |
| - x³ | + x² | ↓ | ↓ | x² - 1 |
| 0 | 0 | - x | + 1 | |
| + x | - 1 | |||
| R = | 0 | 0 | ||
(x³ - x² - x + 1) = (x - 1)·(x² - 1)
Reemplazamos:
| 2 | - | 1 | = - | x² | + | 2 |
| (x - 1)·(x² + 1) | x² + 1 | x4 - 1 | (x - 1)·(x² - 1) |
El tercer miembro es una diferencia de potencias de igual grado par, la factorizamos:
| 2 | - | 1 | = - | x² | + | 2 |
| (x - 1)·(x² + 1) | x² + 1 | (x² - 1)·(x² + 1) | (x - 1)·(x² - 1) |
Factorizamos las diferencias de cuadrados:
| 2 | - | 1 | = - | x² | + | 2 |
| (x - 1)·(x² + 1) | x² + 1 | (x - 1)·(x + 1)·(x² + 1) | (x - 1)·(x - 1)·(x + 1) |
Igualamos a cero:
| 2 | - | 1 | + | x² | - | 2 | = 0 |
| (x - 1)·(x² + 1) | x² + 1 | (x - 1)·(x + 1)·(x² + 1) | (x - 1)²·(x + 1) |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "(x - 1)²·(x + 1)·(x² + 1)":
| 2·(x - 1)·(x + 1) - 1·(x - 1)²·(x + 1) + x²·(x - 1) - 2·(x² + 1) | = 0 |
| (x - 1)²·(x + 1)·(x² + 1) |
Pasmos el denominador del otro lado del signo "=" multiplicando:
2·(x - 1)·(x + 1) - 1·(x - 1)²·(x + 1) + x²·(x - 1) - 2·(x² + 1) = 0·(x - 1)²·(x + 1)·(x² + 1)
2·(x² - 1) - (x - 1)²·(x + 1) + x²·(x - 1) - 2·(x² + 1) = 0
Desarrollamos el binomio al cuadrado y aplicamos distributiva del producto respecto a la suma y la resta:
2·x² - 2·1 - (x² - 2·x·1 + 1²)·(x + 1) + x²·x - x²·1 - (2·x² + 2·1) = 0
Sumamos los términos de igual grado:
2·x² - 2 - (x² - 2·x + 1)·(x + 1) + x³ - x² - 2·x² - 2 = 0
-(x²·x - 2·x·x + 1·x + x²·1 - 2·x·1 + 1·1) + x³ - x² - 4 = 0
-(x³ - 2·x² + x + x² - 2·x + 1) + x³ - x² - 4 = 0
-(x³ - x² - x + 1) + x³ - x² - 4 = 0
-x³ + x² + x - 1 + x³ - x² - 4 = 0
x - 5 = 0
Despejamos "x" y tenemos el resultado:
x = 5
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo resolver ecuaciones de primer grado. Despejar "x".