Problema nº 1-h de ecuaciones de cuarto grado, raíces en ecuaciones bicuadradas - TP04
Enunciado del ejercicio nº 1-h
Hallar las raíces. ¿Para qué valores de "x" la ecuación es igual a cero?
| x² + 16 + | 1 + x² | = | 2 | + 11 |
| 2 | x² |
Desarrollo
Fórmulas:
Ecuación de Báscara o Bhaskara:
Solución
| x² + 16 + | 1 + x² | = | 2 | + 11 |
| 2 | x² |
Igualamos a cero:
| x² + 16 + | 1 + x² | - | 2 | - 11 = 0 |
| 2 | x² |
| x² + | 1 + x² | - | 2 | + 6 = 0 |
| 2 | x² |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "2·x²":
| x²·2·x² + x²·(1 + x²) - 2·2 + 6·2·x² | = 0 |
| 2·x² |
Pasmos el denominador del otro lado del signo "=" multiplicando:
2·x⁴ + x² + x⁴ - 4 + 12·x² = 0·2·x²
Expresamos la ecuación en forma implícita y ordenada.
3·x⁴ + 13·x² - 4 = 0
Realizamos un cambio de variable:
v = x²
3·v² + 13·v - 4 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| v1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 3
b = 13
c = -4
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| v1,2 = | -13 ± √13² - 4·3·(-4) |
| 2·3 |
| v1,2 = | -13 ± √169 + 48 |
| 6 |
| v1,2 = | -13 ± √217 |
| 6 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| v₁ = | -13 + √217 |
| 6 |
| v₂ = | -13 - √217 |
| 6 |
Hacemos el cambio de variable inversa, obtendremos 4 valores:
| v₁ = x1,2² = | -13 + √217 |
| 6 |
| v₂ = x3,4² = | -13 - √217 |
| 6 |
| x1,2² = | -13 + √217 |
| 6 |
| x3,4² = | -13 - √217 |
| 6 |
x3,4 ⇒ -13 - √217 < 0 ⇒ ∉ ℜ
Resultado, las raíces son:
x3,4 ∉ ℜ
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones bicuadradas