Problema n° 2-d de ecuaciones de cuarto grado, raíces en ecuaciones bicuadradas - TP04
Enunciado del ejercicio n° 2-d
¿Para qué valores de "x" la ecuación es igual a cero?
x²·(x - 6)·(x - 5) + (x - 7)·(x - 4)·x² = 2·x²
Desarrollo
Fórmulas:
Ecuación de Báscara o Bhaskara:
x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
2·a |
Solución
x²·(x - 6)·(x - 5) + (x - 7)·(x - 4)·x² = 2·x²
Igualamos a cero:
x²·(x - 6)·(x - 5) + (x - 7)·(x - 4)·x² - 2·x² = 0
Aplicamos la propiedad distributiva:
x²·(x² - 5·x - 6·x + 6·5) + (x² - 4·x - 7·x + 7·4)·x² - 2·x² = 0
x²·(x² - 11·x + 30) + (x² - 11·x + 28)·x² - 2·x² = 0
x⁴ - 11·x³ + 30·x² + x⁴ - 11·x³ + 28·x² - 2·x² = 0
2·x⁴ - 22·x³ + 56·x² = 0
Extraemos factor común "2":
2·(x⁴ - 11·x³ + 28·x²) = 0
Dividimos ambos términos por 2:
x⁴ - 11·x³ + 28·x² = 0
Extraemos factor común "x²":
x²·(x² - 11·x + 28) = 0
Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:
x² = 0 ∧ x² - 11·x + 28 = 0
Por lo tanto:
x₁ = 0
x₂ = 0
Luego resolvemos la ecuación cuadrática:
x² - 11·x + 28 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
x3,4 = | -b ± √b² - 4·a·c |
2·a |
Siendo:
a = 1
b = -11
c = 28
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
x3,4 = | -(-11) ± √(-11)² - 4·1·28 |
2·1 |
x3,4 = | 11 ± √121 - 112 |
2 |
x3,4 = | 11 ± √9 |
2 |
x3,4 = | 11 ± 3 |
2 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
x₃ = | 11 + 3 |
2 |
x₃ = | 14 |
2 |
x₃ = 7
x3,4 = | 11 - 3 |
2 |
x₄ = | 8 |
2 |
x₄ = 4
Resultado, las raíces son:
x₁ = 0
x₂ = 0
x₃ = 7
x₄ = 4
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones bicuadradas