Ejemplo, cómo hallar ecuaciones dadas las raíces

Problema n° 3-d de ecuaciones de cuarto grado - TP04

Enunciado del ejercicio n° 3-d

Obtener la ecuación cuyas raíces son:

x₁ = 1; x₂ = x₃ = 0 ∧ x₄ = -7/2

Solución

Dadas las raíces la ecuación se obtiene planteando el producto de binomios de primer grado, este producto se iguala a cero, un binomio por cada raíz, luego se desarrollan los productos.

x₁ = 1; x₂ = x₃ = 0 ∧ x₄ = -7/2

Planteamos el producto, 4 binomios:

(x - x₁)·(x - x₂)·(x - x₃)·(x - x₄) = 0

Reemplazamos por las raíces:

(x - 1)·(x - 0)·(x - 0)·[x - (-	7	)] = 0
	2

Resolvemos:

(x - 1)·x·x·(x +	7	) = 0
	2

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

x²·(x² +	7	·x - (x +	7	)] = 0
	2		2

x²·(x² +	7	·x - x -	7	) = 0
	2		2

Sumamos los monomios de igual grado:

x²·(x² +	7 - 2·1	·x -	7	) = 0
	2		2

x²·(x² +	5	·x -	7	) = 0
	2		2

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

x⁴ +	5	·x³ -	7	·x² = 0
	2		2

Resultado, la ecuación es:

x⁴ +	5	·x³ -	7	·x² = 0
	2		2

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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