Problema n° 3-e de ecuaciones de cuarto grado - TP04
Enunciado del ejercicio n° 3-e
Obtener la ecuación cuyas raíces son:
x1 = -x2 = 0,2 ∧ x3 = -x4 = -0,5·i
Solución
Dadas las raíces la ecuación se obtiene planteando el producto de binomios de primer grado, este producto se iguala a cero, un binomio por cada raíz, luego se desarrollan los productos.
x1 = -x2 = 0,2 ∧ x3 = -x4 = -0,5·i
Planteamos el producto, 4 binomios:
(x - x1)·(x - x2)·(x - x3)·(x - x4) = 0
Reemplazamos por las raíces:
(x - 0,2)·[x - (-0,2)]·[x - (-0,5·i)]·{x - [-(-0,5·i)]} = 0
Resolvemos:
(x - 0,2)·(x + 0,2)·(x + 0,5·i)·(x - 0,5·i) = 0
Aplicamos la inversa de la diferencia de cuadrados:
(x² - 0,2²)·[x² - (0,5·i)²] = 0
(x² - 0,04)·(x² - 0,25·i²) = 0
i² = -1
(x² - 0,04)·[x² - 0,25·(-1)] = 0
(x² - 0,04)·(x² + 0,25) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:
x4 + 0,25·x² - 0,04·x² - 0,01 = 0
Sumamos los monomios de igual grado:
x4 + 0,21·x² - 0,01 = 0
Resultado, la ecuación es:
x4 + 0,21·x² - 0,01 = 0
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo hallar ecuaciones dadas las raíces