Problema n° 1-i, hallar las raíces en ecuaciones de cuarto grado o bicuadradas - TP16

Enunciado del ejercicio n° 1-i

4·x³·(x + 3) - x·(17·x + 3) = -4

Solución

4·x³·(x + 3) - x·(17·x + 3) = -4

Igualamos a cero:

4·x³·(x + 3) - x·(17·x + 3) + 4 = 0

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

4·x⁴ + 12·x³ - 17·x² - 3·x + 4 = 0

Tenemos una ecuación de cuarto grado completa y ordenada.

Debemos buscar un binomio de primer grado para dividir la ecuación de tal forma que el resto de la división sea cero. Lo que haremos es factorizar la ecuación.

Se puede hacer un "tanteo" empleando el "teorema del resto". Descartamos "x = 0" porque a simple vista la ecuación no se anula.

Por ejemplo, el binomio "x - 1", dividimos por Ruffini:

	4	12	-17	-3	4

1		4	16	-1	-4
	4	16	-1	-4	0

Tenemos una de las raíces:

x₁ = 1

Queda:

(x - 1)·(4·x³ + 16·x² - x - 4) = 0

Factorizamos la ecuación de tercer grado extrayendo factor común en grupos:

(x - 1)·[x·(4·x² - 1) + 4·(4·x² - 1)] = 0

(x - 1)·(x + 4)·(4·x² - 1) = 0

Tenemos otra de las raíces:

x₂ = -4

Luego resolvemos la ecuación de segundo grado:

4·x² - 1 = 0

Despejamos "x":

4·x² = 1

x² = ¼

x_3,4 = ±√¼

x_3,4 = ±½

x₃ = ½

x₄ = -½

Resultado, las raíces de la ecuación son:

x₁ = 1

x₂ = -4

x₃ = ½

x₄ = -½

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones bicuadradas