Problema n° 3 de ecuaciones - TP16

Enunciado del ejercicio n° 3

Proporcionar una ecuación entera cuyas raíces sean:

a) x1 = 2 ∧ x2 = 3

b) x1 = ½; x2 = -1 ∧ x3 = 2

c) x1 = ⅔; x2 = 0 ∧ x3 = 1 (doble)

d) x1 = -1; x2 = -½; x3 = 0 (doble) ∧ x4 = 2 (triple)

Dadas las raíces la ecuación se obtiene planteando el producto de binomios de primer grado, este producto se iguala a cero, un binomio por cada raíz, luego se desarrollan los productos.

Solución

a)

x1 = 2 ∧ x2 = 3

Planteamos el producto, dos binomios:

(x - x1)·(x - x2) = 0

Reemplazamos por las raíces:

(x - 2)·(x - 3) = 0

b)

x1 = ½; x2 = -1 ∧ x3 = 2

Planteamos el producto, tres binomios:

(x - x1)·(x - x2)·(x - x3) = 0

Reemplazamos por las raíces:

(x - ½)·[x - (-1)]·(x - 2) = 0

(x - ½)·(x + 1)·(x - 2) = 0

c)

x1 = ⅔; x2 = 0 ∧ x3 = 1 (doble)

Planteamos el producto, cuatro binomios (uno doble):

(x - x1)·(x - x2)·(x - x3)·(x - x3) = 0

Reemplazamos por las raíces:

(x - ⅔)·(x - 0)·(x - 1)·(x - 1) = 0

x·(x - ⅔)·(x - 1)² = 0

d)

x1 = -1; x2 = -½; x3 = 0 (doble) ∧ x4 = 2 (triple)

Planteamos el producto, cinco binomios (uno doble y uno triple):

(x - x1)·(x - x2)·(x - x3)·(x - x3)·(x - x4)·(x - x4)·(x - x4) = 0

Reemplazamos por las raíces:

[x - (-1)]·[x - (-½)]·(x - 0)·(x - 0)·(x - 2)·(x - 2)·(x - 2) = 0

(x + 1)·(x + ½)·x·x·(x - 2)³ = 0

x²·(x + 1)·(x + ½)·(x - 2)³ = 0

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar ecuaciones dadas las raíces

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