Problema n° 3 de ecuaciones - TP16
Enunciado del ejercicio n° 3
Proporcionar una ecuación entera cuyas raíces sean:
a) x1 = 2 ∧ x2 = 3
b) x1 = ½; x2 = -1 ∧ x3 = 2
c) x1 = ⅔; x2 = 0 ∧ x3 = 1 (doble)
d) x1 = -1; x2 = -½; x3 = 0 (doble) ∧ x4 = 2 (triple)
Dadas las raíces la ecuación se obtiene planteando el producto de binomios de primer grado, este producto se iguala a cero, un binomio por cada raíz, luego se desarrollan los productos.
Solución
a)
x1 = 2 ∧ x2 = 3
Planteamos el producto, dos binomios:
(x - x1)·(x - x2) = 0
Reemplazamos por las raíces:
(x - 2)·(x - 3) = 0
b)
x1 = ½; x2 = -1 ∧ x3 = 2
Planteamos el producto, tres binomios:
(x - x1)·(x - x2)·(x - x3) = 0
Reemplazamos por las raíces:
(x - ½)·[x - (-1)]·(x - 2) = 0
(x - ½)·(x + 1)·(x - 2) = 0
c)
x1 = ⅔; x2 = 0 ∧ x3 = 1 (doble)
Planteamos el producto, cuatro binomios (uno doble):
(x - x1)·(x - x2)·(x - x3)·(x - x3) = 0
Reemplazamos por las raíces:
(x - ⅔)·(x - 0)·(x - 1)·(x - 1) = 0
x·(x - ⅔)·(x - 1)² = 0
d)
x1 = -1; x2 = -½; x3 = 0 (doble) ∧ x4 = 2 (triple)
Planteamos el producto, cinco binomios (uno doble y uno triple):
(x - x1)·(x - x2)·(x - x3)·(x - x3)·(x - x4)·(x - x4)·(x - x4) = 0
Reemplazamos por las raíces:
[x - (-1)]·[x - (-½)]·(x - 0)·(x - 0)·(x - 2)·(x - 2)·(x - 2) = 0
(x + 1)·(x + ½)·x·x·(x - 2)³ = 0
x²·(x + 1)·(x + ½)·(x - 2)³ = 0
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo hallar ecuaciones dadas las raíces