Problema n° 4-b de ecuaciones de segundo grado - TP16

Enunciado del ejercicio n° 4-b

Hallar el valor real de "h" para que la ecuación:

x² + h·x + c² + 5·c + 6 = 0 tiene una raíz igual a c + 3

Desarrollo

Fórmulas:

Ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Solución

x² + h·x + c² + 5·c + 6 = 0 tiene una raíz igual a c + 3

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara, siendo:

a = 1

b = h

c = c² + 5·c + 6

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-h ± h² - 4·1·(c² + 5·c + 6)
2·1
x1,2 =-h ± h² - 4·(c² + 5·c + 6)
2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x1 =-h + h² - 4·(c² + 5·c + 6)
2
x2 =-h - h² - 4·(c² + 5·c + 6)
2

Planteamos x1 = c + 3

c + 3 =-h + h² - 4·(c² + 5·c + 6)
2

Operamos algebraicamente:

2·(c + 3) = -h + h² - 4·(c² + 5·c + 6)

2·c + 6 + h = h² - 4·(c² + 5·c + 6)

(2·c + 6 + h)² = (h² - 4·(c² + 5·c + 6)

(2·c + 6 + h)² = h² - 4·(c² + 5·c + 6)

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

(2·c)² + 2·c·6 + 2·c·h + 6·2·c + 36 + 6·h + 2·c·h + 6·h + h² = h² - 4·c² - 20·c - 24

4·c² + 12·c + 2·c·h + 12·c + 36 + 6·h + 2·c·h + 6·h + h² = h² - 4·c² - 20·c - 24

Igualamos a cero:

4·c² + 12·c + 2·c·h + 12·c + 36 + 6·h + 2·c·h + 6·h + h² - h² + 4·c² + 20·c + 24 = 0

Sumamos los monomios de igual grado:

8·c² + 44·c + 4·c·h + 12·h + 60 = 0

Dividimos ambos términos por 4:

2·c² + 11·c + c·h + 3·h + 15 = 0

Despejamos "h":

2·c² + 11·c + 15 = -c·h - 3·h

2·c² + 11·c + 15 = -h·(c + 3)

h =-2·c² - 11·c - 15
c + 3

Dividimos por Ruffini:

 -2-11-15
 
-3 615
 -2-50

Queda:

-2·c² - 11·c - 15 = (c + 3)·(-2·c - 5)

h = -2·c - 5

La ecuación es:

x² + (-2·c - 5)·x + c² + 5·c + 6 = 0

Verificamos para "x = c + 3":

x² - 2·c·x - 5·x + c² + 5·c + 6 = 0

(c + 3)² - 2·c·(c + 3) - 5·(c + 3) + c² + 5·c + 6 = 0

c² + 6·c + 9 - 2·c² - 6·c - 5·c - 15 + c² + 5·c + 6 = 0

0·c² + 0·c + 0 = 0

Resultado:

h = -2·c - 5

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo resolver ecuaciones cuadraticas

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