Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado
Problema n° 1-i y 1-j de ecuaciones fraccionarias de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio n° 1-i y 1-j
Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:
| i) | x | + | 6 | = 6 |
| 6 | x |
| j) | 6 | + | 2 | = | 3 |
| x - 1 | x - 2 | x - 3 |
Solución
i)
| x | + | 6 | = 6 |
| 6 | x |
Igualamos a cero:
| x | + | 6 | - 6 = 0 |
| 6 | x |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "6·x":
| x² + 36 - 36·x | = 0 |
| 6·x |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "6·x" y, luego, cancelamos:
x² + 36 - 36·x = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
x² - 36·x + 36 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = -36
c = 36
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-36) ± √(-36)² - 4·1·36 |
| 2·1 |
| x1,2 = | 36 ± √1.296 - 144 |
| 2 |
| x1,2 = | 36 ± √1.152 |
| 2 |
| x1,2 = | 36 ± √27·3² |
| 2 |
Extraemos de la raíz 26·3²:
| x1,2 = | 36 ± √2·26·3² |
| 2 |
| x1,2 = | 36 ± 2³·3·√2 |
| 2 |
| x1,2 = | 36 ± 24·√2 |
| 2 |
Simplificamos:
x1,2 = 18 ± 12·√2
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
x1 = 18 + 12·√2
x2 = 18 - 12·√2
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² - 36·x + 36 = 0
Las raíces son:
x1 = 18 + 12·√2
x2 = 18 - 12·√2
j)
| 6 | + | 2 | = | 3 |
| x - 1 | x - 2 | x - 3 |
Igualamos a cero:
| 6 | + | 2 | - | 3 | = 0 |
| x - 1 | x - 2 | x - 3 |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "(x - 1)·(x - 2)·(x - 3)":
| 6·(x - 2)·(x - 3) + 2·(x - 1)·(x - 3) - 3·(x - 1)·(x - 2) | = 0 |
| (x - 1)·(x - 2)·(x - 3) |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(x - 1)·(x - 2)·(x - 3)" y, luego, cancelamos:
6·(x - 2)·(x - 3) + 2·(x - 1)·(x - 3) - 3·(x - 1)·(x - 2) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:
6·(x² - 2·x - 3·x + 6) + 2·(x² - x - 3·x + 3) - 3·(x² - x - 2·x + 2) = 0
6·(x² - 5·x + 6) + 2·(x² - 4·x + 3) - 3·(x² - 3·x + 2) = 0
6·x² - 30·x + 36 + 2·x² - 8·x + 6 - 3·x² + 9·x - 6 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
6·x² + 2·x² - 3·x² - 30·x - 8·x + 9·x + 36 + 6 - 6 = 0
5·x² - 29·x + 36 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 5
b = -29
c = 36
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-29) ± √(-29)² - 4·5·36 |
| 2·5 |
| x1,2 = | 29 ± √841 - 720 |
| 10 |
| x1,2 = | 29 ± √121 |
| 10 |
| x1,2 = | 29 ± 11 |
| 10 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x1 = | 29 + 11 |
| 10 |
| x1 = | 40 |
| 10 |
x1 = 4
| x2 = | 29 - 11 |
| 10 |
| x2 = | 18 |
| 10 |
| x2 = | 9 |
| 5 |
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
5·x² - 29·x + 36 = 0
Las raíces son:
x1 = 4
| x2 = | 9 |
| 5 |
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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