Problema n° 1-i y 1-j de ecuaciones fraccionarias de segundo grado - TP17

Enunciado del ejercicio n° 1-i y 1-j

Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:

i)x+6= 6
6x
j)6+2=3
x - 1x - 2x - 3

Solución

i)

x+6= 6
6x

Igualamos a cero:

x+6- 6 = 0
6x

Sumamos las fracciones, el denominador común será "6·x":

x² + 36 - 36·x= 0
6·x

Multiplicamos ambos miembros por el denominador "6·x" y, luego, cancelamos:

x² + 36 - 36·x = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

x² - 36·x + 36 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = -36

c = 36

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-(-36) ± (-36)² - 4·1·36
2·1
x1,2 =36 ± 1.296 - 144
2
x1,2 =36 ± 1.152
2
x1,2 =36 ± 27·3²
2

Extraemos de la raíz 26·3²:

x1,2 =36 ± 2·26·3²
2
x1,2 =36 ± 2³·3·2
2
x1,2 =36 ± 24·2
2

Simplificamos:

x1,2 = 18 ± 12·2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x1 = 18 + 12·2

x2 = 18 - 12·2

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

x² - 36·x + 36 = 0

Las raíces son:

x1 = 18 + 12·2

x2 = 18 - 12·2

j)

6+2=3
x - 1x - 2x - 3

Igualamos a cero:

6+2-3= 0
x - 1x - 2x - 3

Sumamos las fracciones, el denominador común será "(x - 1)·(x - 2)·(x - 3)":

6·(x - 2)·(x - 3) + 2·(x - 1)·(x - 3) - 3·(x - 1)·(x - 2)= 0
(x - 1)·(x - 2)·(x - 3)

Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(x - 1)·(x - 2)·(x - 3)" y, luego, cancelamos:

6·(x - 2)·(x - 3) + 2·(x - 1)·(x - 3) - 3·(x - 1)·(x - 2) = 0

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:

6·(x² - 2·x - 3·x + 6) + 2·(x² - x - 3·x + 3) - 3·(x² - x - 2·x + 2) = 0

6·(x² - 5·x + 6) + 2·(x² - 4·x + 3) - 3·(x² - 3·x + 2) = 0

6·x² - 30·x + 36 + 2·x² - 8·x + 6 - 3·x² + 9·x - 6 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

6·x² + 2·x² - 3·x² - 30·x - 8·x + 9·x + 36 + 6 - 6 = 0

5·x² - 29·x + 36 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 5

b = -29

c = 36

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-(-29) ± (-29)² - 4·5·36
2·5
x1,2 =29 ± 841 - 720
10
x1,2 =29 ± 121
10
x1,2 =29 ± 11
10

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x1 =29 + 11
10
x1 =40
10

x1 = 4

x2 =29 - 11
10
x2 =18
10
x2 =9
5

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

5·x² - 29·x + 36 = 0

Las raíces son:

x1 = 4

x2 =9
5

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado

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