Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado

Problema n° 2-e y 2-f de ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17

Enunciado del ejercicio n° 2-e y 2-f

Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:

e) √x + 1 = x - 1

f) √x + 5 + 7 = x

Solución

e)

√x + 1 = x - 1

Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:

(√x + 1)² = (x - 1)²

Resolvemos:

x + 1 = x² - 2·x + 1

Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:

x² - 2·x + 1 - x - 1 = 0

x² - 3·x = 0

Extraemos factor común "x":

x·(x - 3) = 0

Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:

x = 0 ∧ x - 3 = 0

Resolvemos la segunda condición:

x - 3 = 0

x = 3

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

x² - 3·x = 0

Las raíces son:

x₁ = 0

x₂ = 3

f)

√x + 5 + 7 = x

Despejamos la raíz:

√x + 5 = x - 7

Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:

(√x + 5)² = (x - 7)²

Resolvemos:

x + 5 = x² - 14·x + 49

Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:

x² - 14·x + 49 - x - 5 = 0

x² - 15·x + 44 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = -15

c = 44

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-(-15) ± √(-15)² - 4·1·44
	2·1

x_1,2 =	15 ± √225 - 176
	2

x_1,2 =	15 ± √49
	2

x_1,2 =	15 ± 7
	2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x₁ =	15 + 7
	2

x₁ =	22
	2

x₁ = 11

x₂ =	15 - 7
	2

x₂ =	8
	2

x₂ = 4

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

x² - 15·x + 44 = 0

Las raíces son:

x₁ = 11

x₂ = 4

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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