Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado
Problema n° 2-e y 2-f de ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio n° 2-e y 2-f
Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:
e) √x + 1 = x - 1
f) √x + 5 + 7 = x
Solución
e)
√x + 1 = x - 1
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(√x + 1)² = (x - 1)²
Resolvemos:
x + 1 = x² - 2·x + 1
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
x² - 2·x + 1 - x - 1 = 0
x² - 3·x = 0
Extraemos factor común "x":
x·(x - 3) = 0
Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:
x = 0 ∧ x - 3 = 0
Resolvemos la segunda condición:
x - 3 = 0
x = 3
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² - 3·x = 0
Las raíces son:
x1 = 0
x2 = 3
f)
√x + 5 + 7 = x
Despejamos la raíz:
√x + 5 = x - 7
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(√x + 5)² = (x - 7)²
Resolvemos:
x + 5 = x² - 14·x + 49
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
x² - 14·x + 49 - x - 5 = 0
x² - 15·x + 44 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
2·a |
Siendo:
a = 1
b = -15
c = 44
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
x1,2 = | -(-15) ± √(-15)² - 4·1·44 |
2·1 |
x1,2 = | 15 ± √225 - 176 |
2 |
x1,2 = | 15 ± √49 |
2 |
x1,2 = | 15 ± 7 |
2 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
x1 = | 15 + 7 |
2 |
x1 = | 22 |
2 |
x1 = 11
x2 = | 15 - 7 |
2 |
x2 = | 8 |
2 |
x2 = 4
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² - 15·x + 44 = 0
Las raíces son:
x1 = 11
x2 = 4
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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