Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado
Problema n° 2-k y 2-l de ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio n° 2-k y 2-l
Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:
k) √x + 2 - √2·x + 2 + 1 = 0
l) √x + 3 - √x - 1 = √2·x + 2
Solución
k)
√x + 2 - √2·x + 2 + 1 = 0
Despejamos las raíces:
√x + 2 - √2·x + 2 = -1
Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:
(√x + 2 - √2·x + 2)² = (-1)²
Resolvemos el binomio al cuadrado:
(√x + 2)² - 2·√x + 2·√2·x + 2 + (√2·x + 2)² = 1
x + 2 - 2·√(x + 2)·(2·x + 2) + 2·x + 2 = 1
2·√(x + 2)·(2·x + 2) + 3·x + 4 = 1
Nuevamente despejamos la raíz:
2·√(x + 2)·(2·x + 2) = -3·x - 4 + 1
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
[2·√(2·x² + 4·x + 2·x + 4)]² = (-3·x - 3)²
Resolvemos:
4·(2·x² + 6·x + 4) = 9·x² + 18·x + 9
8·x² + 24·x + 16 = 9·x² + 18·x + 9
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
8·x² + 24·x + 16 - 9·x² - 18·x - 9 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
8·x² - 9·x² + 24·x - 18·x + 16 - 9 = 0
-x² + 6·x + 7 = 0
x² - 6·x - 7 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = -6
c = -7
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-6) ± √(-6)² - 4·1·(-7) |
| 2·1 |
| x1,2 = | 6 ± √36 + 28 |
| 2 |
| x1,2 = | 6 ± √64 |
| 2 |
| x1,2 = | 6 ± 8 |
| 2 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x1 = | 6 + 8 |
| 2 |
| x1 = | 14 |
| 2 |
x1 = 7
| x2 = | 6 - 8 |
| 2 |
| x2 = | -2 |
| 2 |
x2 = -1
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² - 6·x - 7 = 0
Las raíces son:
x1 = 7
x2 = -1
l)
√x + 3 - √x - 1 = √2·x + 2
Elevamos ambos miembros al cuadrado para comenzar a cancelar la raíces cuadradas:
(√x + 3 - √x - 1)² = (√2·x + 2)²
Resolvemos:
(√x + 3)² - 2·√x + 3·√x - 1 + (√x - 1)² = 2·x + 2
x + 3 - 2·√(x + 3)·(x - 1) + x - 1 = 2·x + 2
Despejamos la raíz:
-2·√(x² + 3·x - x - 3) = 2·x + 2 - x - 3 - x + 1
-2·√(x² + 2·x - 3) = 0
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
[-2·√(x² + 2·x - 3)]² = 0
Resolvemos:
x² + 2·x - 3 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = 2
c = -3
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -2 ± √2² - 4·1·(-3) |
| 2·1 |
| x1,2 = | -2 ± √4 + 12 |
| 2 |
| x1,2 = | -2 ± √16 |
| 2 |
| x1,2 = | -2 ± 4 |
| 2 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x1 = | -2 + 4 |
| 2 |
| x1 = | 2 |
| 2 |
x1 = 1
| x2 = | -2 - 4 |
| 2 |
| x2 = | -6 |
| 2 |
x2 = -3
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² + 2·x - 3 = 0
Las raíces son:
x1 = 1
x2 = -3
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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