Problema n° 2-s y 2-t de ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17

Enunciado del ejercicio n° 2-s y 2-t

Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:

s) √x + 4 = 1 + √2·x - 6

t) 3·√x - √2·x + 1 = √2·x

Solución

s)

√x + 4 = 1 + √2·x - 6

Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:

(√x + 4)² = (1 + √2·x - 6)²

Resolvemos el binomio al cuadrado:

x + 4 = 1 + 2·√2·x - 6 + (√2·x - 6)²

x + 4 = 1 + 2·√2·x - 6 + 2·x - 6

Despejamos la raíz:

x + 4 - 2·x + 6 - 1 = 2·√2·x - 6

-x + 9 = 2·√2·x - 6

Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:

(-x + 9)² = (2·√2·x - 6)²

Resolvemos:

x² - 18·x + 81 = 4·(2·x - 6)

x² - 18·x + 81 = 8·x - 24

Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:

x² - 18·x + 81 - 8·x + 24 = 0

x² - 26·x + 105 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = 1

b = -26

c = 105

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Simplificamos:

x_1,2 = 13 ± 8

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x₁ = 13 + 8

x₁ = 21

x₂ = 13 - 8

x₂ = 5

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

x² - 26·x + 105 = 0

Las raíces son:

x₁ = 21

x₂ = 5

t)

3·√x - √2·x + 1 = √2·x

Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:

(3·√x - √2·x + 1)² = (√2·x)²

Resolvemos el binomio al cuadrado:

(3·√x)² - 2·3·√x·√2·x + 1 + (√2·x + 1)² = 2·x

9·x - 6·√x·(2·x + 1) + 2·x + 1 = 2·x

Despejamos la raíz:

9·x + 2·x + 1 - 2·x = 6·√(2·x² + x)

9·x + 1 = 6·√2·x² + x

Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:

(9·x + 1)² = (6·√2·x² + x)²

Resolvemos:

81·x² + 18·x + 1 = 36·(2·x² + x)

81·x² + 18·x + 1 = 72·x² + 36·x

Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:

81·x² + 18·x + 1 - 72·x² - 36·x = 0

9·x² - 18·x + 1 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = 9

b = -18

c = 1

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Hallamos el mínimo común múltiplo del radicando:

Extraemos "2⁴·3²" de la raíz:

Simplificamos:

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

9·x² - 18·x + 1 = 0

Las raíces son:

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado