Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado

Problema n° 2-y de ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17

Enunciado del ejercicio n° 2-y

Resolver la siguiente ecuación irracional de segundo grado:

√a - x + √b + x = √2·a + 2·b

√a - x + √b + x = √2·a + 2·b

Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:

(√a - x + √b + x)² = (√2·a + 2·b)²

Resolvemos el binomio al cuadrado:

(√a - x)² + 2·√a - x·√b + x + (√b + x)² = 2·a + 2·b

a - x + 2·√(a - x)·(b + x) + b + x = 2·a + 2·b

2·√a·b - b·x + a·x - x² + a + b = 2·a + 2·b

Despejamos la raíz:

2·√a·b - b·x + a·x - x² = 2·a + 2·b - a - b

2·√a·b - b·x + a·x - x² = a + b

Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:

(2·√a·b - b·x + a·x - x²)² = (a + b)²

Resolvemos:

4·(a·b - b·x + a·x - x²) = a² + 2·a·b + b²

4·a·b - 4·b·x + 4·a·x - 4·x² = a² + 2·a·b + b²

Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:

4·a·b - 4·b·x + 4·a·x - 4·x² - a² - 2·a·b - b² = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

-4·x² + 4·a·x - 4·b·x - a² + 4·a·b - 2·a·b - b² = 0

-4·x² + 4·a·x - 4·b·x - a² + 2·a·b - b² = 0

-4·x² + 4·(a - b)·x - (a² - 2·a·b + b²) = 0

4·x² - 4·(a - b)·x + (a² - 2·a·b + b²) = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada. Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:

2²·x² - 2·2·(a - b)·x + (a - b)² = 0

[2·x - (a - b)]² = 0

Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:

2·x - (a - b) = 0

Despejamos "x":

2·x = a - b

x_1,2 =	a - b
	2

La ecuación expresada en forma implícita es:

4·x² - 4·(a - b)·x + (a² - 2·a·b + b²) = 0

Las raíces son:

x₁ = x₂ =	a - b
	2

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.