Problema n° 2-y de ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio n° 2-y
Resolver la siguiente ecuación irracional de segundo grado:
√a - x + √b + x = √2·a + 2·b
Solución
√a - x + √b + x = √2·a + 2·b
Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:
(√a - x + √b + x)² = (√2·a + 2·b)²
Resolvemos el binomio al cuadrado:
(√a - x)² + 2·√a - x·√b + x + (√b + x)² = 2·a + 2·b
a - x + 2·√(a - x)·(b + x) + b + x = 2·a + 2·b
2·√a·b - b·x + a·x - x² + a + b = 2·a + 2·b
Despejamos la raíz:
2·√a·b - b·x + a·x - x² = 2·a + 2·b - a - b
2·√a·b - b·x + a·x - x² = a + b
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(2·√a·b - b·x + a·x - x²)² = (a + b)²
Resolvemos:
4·(a·b - b·x + a·x - x²) = a² + 2·a·b + b²
4·a·b - 4·b·x + 4·a·x - 4·x² = a² + 2·a·b + b²
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
4·a·b - 4·b·x + 4·a·x - 4·x² - a² - 2·a·b - b² = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
-4·x² + 4·a·x - 4·b·x - a² + 4·a·b - 2·a·b - b² = 0
-4·x² + 4·a·x - 4·b·x - a² + 2·a·b - b² = 0
-4·x² + 4·(a - b)·x - (a² - 2·a·b + b²) = 0
4·x² - 4·(a - b)·x + (a² - 2·a·b + b²) = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada. Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:
2²·x² - 2·2·(a - b)·x + (a - b)² = 0
[2·x - (a - b)]² = 0
Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:
2·x - (a - b) = 0
Despejamos "x":
2·x = a - b
| x1,2 = | a - b |
| 2 |
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
4·x² - 4·(a - b)·x + (a² - 2·a·b + b²) = 0
Las raíces son:
| x1 = x2 = | a - b |
| 2 |
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado