Enunciado del ejercicio n° 6
Factorear las siguientes expresiones aplicando suma o diferencia de potencias de igual grado:
Solución
Para los siguientes casos debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:
1) Suma de potencias de igual grado con exponente impar ⟶ dividir por la suma de sus bases
2) Diferencia de potencias de igual grado con exponente impar ⟶ dividir por la diferencia de sus bases
3) Diferencia de potencias de igual grado con exponente par ⟶ dividir por la suma o por la diferencia de sus bases
4) Suma de potencias de igual grado de exponente par ⟶ no se puede dividir
5) Ver teoría en: Sumas o restas de potencias de igual grado
A continuación se divide como polinomios.
a)
x⁷ + a⁷ ⟶ dividimos por (x + a)
x⁷ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | + a⁷ | x + a |
- x⁷ | -x⁶·a | x⁶ - x⁵·a + x⁴·a² - x³·a³ + x²·a⁴ - x·a⁵ + a⁶ | ||||||
0 | - x⁶·a | |||||||
x⁶·a | + x⁵·a² | |||||||
0 | + x⁵·a² | |||||||
- x⁵·a² | - x⁴·a³ | |||||||
0 | - x⁴·a³ | |||||||
x⁴·a³ | + x³·a⁴ | |||||||
0 | + x³·a⁴ | |||||||
- x³·a⁴ | - x²·a⁵ | |||||||
0 | - x²·a⁵ | |||||||
x²·a⁵ | + x·a⁶ | |||||||
0 | + x·a⁶ | + a⁷ | ||||||
- x·a⁶ | - a⁷ | |||||||
0 | 0 |
Resultado (a):
x⁷ + a⁷ = (x + a)·(x⁶ - x⁵·a + x⁴·a² - x³·a³ + x²·a⁴ - x·a⁵ + a⁶)
b)
a³ + 8 = a³ + 2³ ⟶ dividimos por (a + 2)
a³ | 0 | 0 | + 8 | a + 2 |
- a³ | - a²·2 | a² - a·2 + 4 | ||
0 | - a²·2 | |||
a²·2 | + a·4 | |||
0 | + a·4 | + 8 | ||
- a·4 | - 8 | |||
0 | 0 |
Resultado (b):
a³ + 8 = (a + 2)·(a² - a·2 + 4)
c)
27 + y³ = 3³ + y³ ⟶ dividimos por (3 + y)
27 | 0 | 0 | + y³ | 3 + y |
- 27 | - 9·y | 9 - 3·y + y² | ||
0 | - 9·y | |||
9·y | + 3·y² | |||
0 | + 3·y² | + y³ | ||
- 3·y² | - y³ | |||
0 | 0 |
Resultado (c):
27 + y³ = (3 + y)·(9 - 3·y + y²)
d)
x⁵ + 1/32 = x⁵ + ½⁵ ⟶ dividimos por (x + ½)
x⁵ | 0 | 0 | 0 | 0 | + 1/32 | x + ½ |
- x⁵ | - x⁴/2 | x⁴ - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16 | ||||
0 | - x⁴/2 | |||||
x⁴/2 | + x³/4 | |||||
0 | + x³/4 | |||||
- x³/4 | - x²/8 | |||||
0 | - x²/8 | |||||
x²/8 | x/16 | |||||
0 | x/16 | + 1/32 | ||||
- x/16 | - 1/32 | |||||
0 | 0 |
Resultado (d):
x⁵ + 1/32 = (x + ½)·(x⁴ - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16)
e)
x³ - ⅛ = x³ - ½³ ⟶ dividimos por (x - ½)
x³ | 0 | 0 | - ⅛ | x - ½ |
- x³ | + x²/2 | x² + x/2 + ¼ | ||
0 | + x²/2 | |||
- x²/2 | + x/4 | |||
0 | + x/4 | - ⅛ | ||
- x/4 | + ⅛ | |||
0 | 0 |
Resultado (e):
x³ - ⅛ = (x - ½)·(x² + x/2 + ¼)
f)
a⁴ - b⁴·c⁴ = a⁴ - (b·c)⁴ ⟶ dividimos por (a - b·c) o por (a + b·c)
En éste caso podemos aplicar diferencia de cuadrados:
a⁴ - (b·c)⁴ = (a²)² - [(b·c)²]² = [a² - (b·c)²]·[a² + (b·c)²] = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]
Resultado (f):
a⁴ - b⁴·c⁴ = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]
g)
x³ + 7 ⟶ No se puede factorear.
h)
a¹⁰ - x⁵ = (a²)⁵ - x⁵ ⟶ dividimos por (a² - x)
a¹⁰ | 0 | 0 | 0 | 0 | - x⁵ | a² - x |
- a¹⁰ | + a⁸·x | a⁸ + a⁶·x + a⁴·x² + a²·x³ + x⁴ | ||||
0 | + a⁸·x | |||||
- a⁸·x | + a⁶·x² | |||||
0 | + a⁶·x² | |||||
- a⁶·x² | + a⁴·x³ | |||||
0 | + a⁴·x³ | |||||
- a⁴·x³ | + a²·x⁴ | |||||
0 | + a²·x⁴ | |||||
- a²·x⁴ | + x⁵ | |||||
0 | 0 |
Resultado (h):
a¹⁰ - x⁵ = (a² - x)·(a⁸ + a⁶·x + a⁴·x² + a²·x³ + x⁴)
i)
x⁶ - y⁶ ⟶ dividimos por (x - y) o por (x + y)
x⁶ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - y⁶ | x - y |
- x⁶ | + x⁵·y | x⁵ + x⁴·y + x³·y² + x²·y³ + x·y⁴ + y⁵ | |||||
0 | + x⁵·y | ||||||
- x⁵·y | + x⁴·y² | ||||||
0 | + x⁴·y² | ||||||
- x⁴·y² | + x³·y³ | ||||||
0 | + x³·y³ | ||||||
- x³·y³ | + x²·y⁴ | ||||||
0 | + x²·y⁴ | ||||||
- x²·y⁴ | + x·y⁵ | ||||||
0 | + x·y⁵ | - y⁶ | |||||
- x·y⁵ | + y⁶ | ||||||
0 | 0 |
x⁶ - y⁶ = (x - y)·(x⁵ + x⁴·y + x³·y² + x²·y³ + x·y⁴ + y⁵)
En una segunda división, ahora por (x + y):
x⁵ | + x⁴·y | + x³·y² | + x²·y³ | + x·y⁴ | + y⁵ | x + y |
- x⁵ | - x⁴·y | x⁴ + x²·y² + y⁴ | ||||
0 | 0 | + x³·y² | + x²·y³ | |||
- x³·y² | - x²·y³ | |||||
0 | 0 | + x·y⁴ | + y⁵ | |||
- x·y⁴ | - y⁵ | |||||
0 | 0 |
Resultado (i):
x⁶ - y⁶ = (x - y)·(x + y)·(x⁴ + x²·y² + y⁴)
j)
x⁶ + y¹² = (x²)³ + (y⁴)³ ⟶ dividimos por (x² + y⁴), (en la suma sólo se puede factorear si la potencia es impar).
+ x⁶ | 0 | 0 | + y¹² | x² + y⁴ |
- x⁶ | - x⁴·y⁴ | x⁴ - x²·y⁴ + y⁸ | ||
0 | - x⁴·y⁴ | |||
+ x⁴·y⁴ | + x²·y⁸ | |||
0 | + x²·y⁸ | |||
- x²·y⁸ | - y¹² | |||
0 | 0 |
Resultado (j):
x⁶ + y¹² = (x² + y⁴)·(x⁴ - x²·y⁴ + y⁸)
k)
a⁷ - 128·x⁷ = a⁷ - 2⁷·x⁷ = a⁷ - (2·x)⁷ ⟶ dividimos por (a - 2·x)
+a⁷ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -128·x⁷ | a - 2·x |
-a⁷ | + 2·x·a⁶ | a⁶ + 2·x·a⁵ + 4·x²·a⁴ + 8·x³·a³ + 16·x⁴·a² + 32·x⁵·a + 64·x⁶ | ||||||
0 | +2·x·a⁶ | |||||||
-2·x·a⁶ | +4·x²·a⁵ | |||||||
0 | +4·x²·a⁵ | |||||||
-4·x²·a⁵ | +8·x³·a⁴ | |||||||
0 | +8·x³·a⁴ | |||||||
-8·x³·a⁴ | +16·x⁴·a³ | |||||||
0 | +16·x⁴·a³ | |||||||
-16·x⁴·a³ | +32·x⁵·a² | |||||||
0 | +32·x⁵·a² | |||||||
-32·x⁵·a² | +64·x⁶·a | |||||||
0 | +64·x⁶·a | |||||||
-64·x⁶·a | +128·x⁷ | |||||||
0 | 0 |
Resultado (k):
a⁷ - 128·x⁷ = (a - 2·x)·(a⁶ + 2·x·a⁵ + 4·x²·a⁴ + 8·x³·a³ + 16·x⁴·a² + 32·x⁵·a + 64·x⁶)
l)
x⁴ - 3 ⟶ No se puede factorear.
Resolvió: . Argentina