Problema n° 6 de casos de factoreo o factorización - TP01

Enunciado del ejercicio n° 6

Factorear las siguientes expresiones aplicando suma o diferencia de potencias de igual grado:

Solución

Para los siguientes casos debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1) Suma de potencias de igual grado con exponente impar ⟶ dividir por la suma de sus bases

2) Diferencia de potencias de igual grado con exponente impar ⟶ dividir por la diferencia de sus bases

3) Diferencia de potencias de igual grado con exponente par ⟶ dividir por la suma o por la diferencia de sus bases

4) Suma de potencias de igual grado de exponente par ⟶ no se puede dividir

5) Ver teoría en: Sumas o restas de potencias de igual grado

A continuación se divide como polinomios.

a)

x⁷ + a⁷ ⟶ dividimos por (x + a)

Resultado (a):

x⁷ + a⁷ = (x + a)·(x⁶ - x⁵·a + x⁴·a² - x³·a³ + x²·a⁴ - x·a⁵ + a⁶)

b)

a³ + 8 = a³ + 2³ ⟶ dividimos por (a + 2)

Resultado (b):

a³ + 8 = (a + 2)·(a² - a·2 + 4)

c)

27 + y³ = 3³ + y³ ⟶ dividimos por (3 + y)

Resultado (c):

27 + y³ = (3 + y)·(9 - 3·y + y²)

d)

x⁵ + 1/32 = x⁵ + ½⁵ ⟶ dividimos por (x + ½)

Resultado (d):

x⁵ + 1/32 = (x + ½)·(x⁴ - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16)

e)

x³ - ⅛ = x³ - ½³ ⟶ dividimos por (x - ½)

Resultado (e):

x³ - ⅛ = (x - ½)·(x² + x/2 + ¼)

f)

a⁴ - b⁴·c⁴ = a⁴ - (b·c)⁴ ⟶ dividimos por (a - b·c) o por (a + b·c)

En éste caso podemos aplicar diferencia de cuadrados:

a⁴ - (b·c)⁴ = (a²)² - [(b·c)²]² = [a² - (b·c)²]·[a² + (b·c)²] = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]

Resultado (f):

a⁴ - b⁴·c⁴ = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]

g)

x³ + 7 ⟶ No se puede factorear.

h)

a¹⁰ - x⁵ = (a²)⁵ - x⁵ ⟶ dividimos por (a² - x)

Resultado (h):

a¹⁰ - x⁵ = (a² - x)·(a⁸ + a⁶·x + a⁴·x² + a²·x³ + x⁴)

i)

x⁶ - y⁶ ⟶ dividimos por (x - y) o por (x + y)

x⁶ - y⁶ = (x - y)·(x⁵ + x⁴·y + x³·y² + x²·y³ + x·y⁴ + y⁵)

En una segunda división, ahora por (x + y):

Resultado (i):

x⁶ - y⁶ = (x - y)·(x + y)·(x⁴ + x²·y² + y⁴)

j)

x⁶ + y¹² = (x²)³ + (y⁴)³ ⟶ dividimos por (x² + y⁴), (en la suma sólo se puede factorear si la potencia es impar).

Resultado (j):

x⁶ + y¹² = (x² + y⁴)·(x⁴ - x²·y⁴ + y⁸)

k)

a⁷ - 128·x⁷ = a⁷ - 2⁷·x⁷ = a⁷ - (2·x)⁷ ⟶ dividimos por (a - 2·x)

Resultado (k):

a⁷ - 128·x⁷ = (a - 2·x)·(a⁶ + 2·x·a⁵ + 4·x²·a⁴ + 8·x³·a³ + 16·x⁴·a² + 32·x⁵·a + 64·x⁶)

l)

x⁴ - 3 ⟶ No se puede factorear.

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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