Problema n° 6 de casos de factoreo o factorización - TP01

Enunciado del ejercicio n° 6

Factorear las siguientes expresiones aplicando suma o diferencia de potencias de igual grado:

Solución

Para los siguientes casos debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1) Suma de potencias de igual grado con exponente impar → dividir por la suma de sus bases

2) Diferencia de potencias de igual grado con exponente impar → dividir por la diferencia de sus bases

3) Diferencia de potencias de igual grado con exponente par → dividir por la suma o por la diferencia de sus bases

4) Suma de potencias de igual grado de exponente par → no se puede dividir

5) Ver teoría en: Sumas o restas de potencias de igual grado

A continuación se divide como polinomios.

a)

x⁷ + a⁷ → dividimos por (x + a)

x⁷	0	0	0	0	0	0	+ a⁷	x + a
- x⁷	-x⁶·a							x⁶ - x⁵·a + x⁴·a² - x³·a³ + x²·a⁴ - x·a⁵ + a⁶
0	- x⁶·a
	x⁶·a	+ x⁵·a²
	0	+ x⁵·a²
		- x⁵·a²	- x⁴·a³
		0	- x⁴·a³
			x⁴·a³	+ x³·a⁴
			0	+ x³·a⁴
				- x³·a⁴	- x²·a⁵
				0	- x²·a⁵
					x²·a⁵	+ x·a⁶
					0	+ x·a⁶	+ a⁷
						- x·a⁶	- a⁷
						0	0

Resultado (a):

x⁷ + a⁷ = (x + a)·(x⁶ - x⁵·a + x⁴·a² - x³·a³ + x²·a⁴ - x·a⁵ + a⁶)

b)

a³ + 8 = a³ + 2³ → dividimos por (a + 2)

a³	0	0	+ 8	a + 2
- a³	- a²·2			a² - a·2 + 4
0	- a²·2
	a²·2	+ a·4
	0	+ a·4	+ 8
		- a·4	- 8
		0	0

Resultado (b):

a³ + 8 = (a + 2)·(a² - a·2 + 4)

c)

27 + y³ = 3³ + y³ → dividimos por (3 + y)

27	0	0	+ y³	3 + y
- 27	- 9·y			9 - 3·y + y²
0	- 9·y
	9·y	+ 3·y²
	0	+ 3·y²	+ y³
		- 3·y²	- y³
		0	0

Resultado (c):

27 + y³ = (3 + y)·(9 - 3·y + y²)

d)

x⁵ + 1/32 = x⁵ + ½⁵ → dividimos por (x + ½)

x⁵	0	0	0	0	+ 1/32	x + ½
- x⁵	- x⁴/2					x⁴ - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16
0	- x⁴/2
	x⁴/2	+ x³/4
	0	+ x³/4
		- x³/4	- x²/8
		0	- x²/8
			x²/8	x/16
			0	x/16	+ 1/32
				- x/16	- 1/32
				0	0

Resultado (d):

x⁵ + 1/32 = (x + ½)·(x⁴ - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16)

e)

x³ - ⅛ = x³ - ½³ → dividimos por (x - ½)

x³	0	0	- ⅛	x - ½
- x³	+ x²/2			x² + x/2 + ¼
0	+ x²/2
	- x²/2	+ x/4
	0	+ x/4	- ⅛
		- x/4	+ ⅛
		0	0

Resultado (e):

x³ - ⅛ = (x - ½)·(x² + x/2 + ¼)

f)

a⁴ - b⁴·c⁴ = a⁴ - (b·c)⁴ → dividimos por (a - b·c) o por (a + b·c)

En éste caso podemos aplicar diferencia de cuadrados:

a⁴ - (b·c)⁴ = (a²)² - [(b·c)²]² = [a² - (b·c)²]·[a² + (b·c)²] = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]

Resultado (f):

a⁴ - b⁴·c⁴ = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]

g)

x³ + 7 → No se puede factorear.

h)

a¹⁰ - x⁵ = (a²)⁵ - x⁵ → dividimos por (a² - x)

a¹⁰	0	0	0	0	- x⁵	a² - x
- a¹⁰	+ a⁸·x					a⁸ + a⁶·x + a⁴·x² + a²·x³ + x⁴
0	+ a⁸·x
	- a⁸·x	+ a⁶·x²
	0	+ a⁶·x²
		- a⁶·x²	+ a⁴·x³
		0	+ a⁴·x³
			- a⁴·x³	+ a²·x⁴
			0	+ a²·x⁴
				- a²·x⁴	+ x⁵
				0	0

Resultado (h):

a¹⁰ - x⁵ = (a² - x)·(a⁸ + a⁶·x + a⁴·x² + a²·x³ + x⁴)

i)

x⁶ - y⁶ → dividimos por (x - y) o por (x + y)

x⁶	0	0	0	0	0	- y⁶	x - y
- x⁶	+ x⁵·y						x⁵ + x⁴·y + x³·y² + x²·y³ + x·y⁴ + y⁵
0	+ x⁵·y
	- x⁵·y	+ x⁴·y²
	0	+ x⁴·y²
		- x⁴·y²	+ x³·y³
		0	+ x³·y³
			- x³·y³	+ x²·y⁴
			0	+ x²·y⁴
				- x²·y⁴	+ x·y⁵
				0	+ x·y⁵	- y⁶
					- x·y⁵	+ y⁶
					0	0

x⁶ - y⁶ = (x - y)·(x⁵ + x⁴·y + x³·y² + x²·y³ + x·y⁴ + y⁵)

En una segunda división, ahora por (x + y):

x⁵	+ x⁴·y	+ x³·y²	+ x²·y³	+ x·y⁴	+ y⁵	x + y
- x⁵	- x⁴·y					x⁴ + x²·y² + y⁴
0	0	+ x³·y²	+ x²·y³
		- x³·y²	- x²·y³
		0	0	+ x·y⁴	+ y⁵
				- x·y⁴	- y⁵
				0	0

Resultado (i):

x⁶ - y⁶ = (x - y)·(x + y)·(x⁴ + x²·y² + y⁴)

j)

x⁶ + y¹² = (x²)³ + (y⁴)³ → dividimos por (x² + y⁴), (en la suma sólo se puede factorear si la potencia es impar).

+ x⁶	0	0	+ y¹²	x² + y⁴
- x⁶	- x⁴·y⁴			x⁴ - x²·y⁴ + y⁸
0	- x⁴·y⁴
	+ x⁴·y⁴	+ x²·y⁸
	0	+ x²·y⁸
		- x²·y⁸	- y¹²
		0	0

Resultado (j):

x⁶ + y¹² = (x² + y⁴)·(x⁴ - x²·y⁴ + y⁸)

k)

a⁷ - 128·x⁷ = a⁷ - 2⁷·x⁷ = a⁷ - (2·x)⁷ → dividimos por (a - 2·x)

+a⁷	0	0	0	0	0	0	-128·x⁷	a - 2·x
-a⁷	+ 2·x·a⁶							a⁶ + 2·x·a⁵ + 4·x²·a⁴ + 8·x³·a³ + 16·x⁴·a² + 32·x⁵·a + 64·x⁶
0	+2·x·a⁶
	-2·x·a⁶	+4·x²·a⁵
	0	+4·x²·a⁵
		-4·x²·a⁵	+8·x³·a⁴
		0	+8·x³·a⁴
			-8·x³·a⁴	+16·x⁴·a³
			0	+16·x⁴·a³
				-16·x⁴·a³	+32·x⁵·a²
				0	+32·x⁵·a²
					-32·x⁵·a²	+64·x⁶·a
					0	+64·x⁶·a
						-64·x⁶·a	+128·x⁷
						0	0

Resultado (k):

a⁷ - 128·x⁷ = (a - 2·x)·(a⁶ + 2·x·a⁵ + 4·x²·a⁴ + 8·x³·a³ + 16·x⁴·a² + 32·x⁵·a + 64·x⁶)

l)

x⁴ - 3 → No se puede factorear.

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina