Problema n° 6 de casos de factoreo o factorización - TP01
Enunciado del ejercicio n° 6
Factorear las siguientes expresiones aplicando suma o diferencia de potencias de igual grado:
Solución
Para los siguientes casos debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:
1) Suma de potencias de igual grado con exponente impar → dividir por la suma de sus bases
2) Diferencia de potencias de igual grado con exponente impar → dividir por la diferencia de sus bases
3) Diferencia de potencias de igual grado con exponente par → dividir por la suma o por la diferencia de sus bases
4) Suma de potencias de igual grado de exponente par → no se puede dividir
5) Ver teoría en: Sumas o restas de potencias de igual grado
A continuación se divide como polinomios.
a)
x7 + a7 → dividimos por (x + a)
x7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | + a7 | x + a |
- x7 | -x6·a | x6 - x5·a + x4·a² - x³·a³ + x²·a4 - x·a5 + a6 | ||||||
0 | - x6·a | |||||||
x6·a | + x5·a² | |||||||
0 | + x5·a² | |||||||
- x5·a² | - x4·a³ | |||||||
0 | - x4·a³ | |||||||
x4·a³ | + x³·a4 | |||||||
0 | + x³·a4 | |||||||
- x³·a4 | - x²·a5 | |||||||
0 | - x²·a5 | |||||||
x²·a5 | + x·a6 | |||||||
0 | + x·a6 | + a7 | ||||||
- x·a6 | - a7 | |||||||
0 | 0 |
Resultado (a):
x7 + a7 = (x + a)·(x6 - x5·a + x4·a² - x³·a³ + x²·a4 - x·a5 + a6)
b)
a³ + 8 = a³ + 2³ → dividimos por (a + 2)
a³ | 0 | 0 | + 8 | a + 2 |
- a³ | - a²·2 | a² - a·2 + 4 | ||
0 | - a²·2 | |||
a²·2 | + a·4 | |||
0 | + a·4 | + 8 | ||
- a·4 | - 8 | |||
0 | 0 |
Resultado (b):
a³ + 8 = (a + 2)·(a² - a·2 + 4)
c)
27 + y³ = 3³ + y³ → dividimos por (3 + y)
27 | 0 | 0 | + y³ | 3 + y |
- 27 | - 9·y | 9 - 3·y + y² | ||
0 | - 9·y | |||
9·y | + 3·y² | |||
0 | + 3·y² | + y³ | ||
- 3·y² | - y³ | |||
0 | 0 |
Resultado (c):
27 + y³ = (3 + y)·(9 - 3·y + y²)
d)
x5 + 1/32 = x5 + ½5 → dividimos por (x + ½)
x5 | 0 | 0 | 0 | 0 | + 1/32 | x + ½ |
- x5 | - x4/2 | x4 - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16 | ||||
0 | - x4/2 | |||||
x4/2 | + x³/4 | |||||
0 | + x³/4 | |||||
- x³/4 | - x²/8 | |||||
0 | - x²/8 | |||||
x²/8 | x/16 | |||||
0 | x/16 | + 1/32 | ||||
- x/16 | - 1/32 | |||||
0 | 0 |
Resultado (d):
x5 + 1/32 = (x + ½)·(x4 - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16)
e)
x³ - ⅛ = x³ - ½³ → dividimos por (x - ½)
x³ | 0 | 0 | - ⅛ | x - ½ |
- x³ | + x²/2 | x² + x/2 + ¼ | ||
0 | + x²/2 | |||
- x²/2 | + x/4 | |||
0 | + x/4 | - ⅛ | ||
- x/4 | + ⅛ | |||
0 | 0 |
Resultado (e):
x³ - ⅛ = (x - ½)·(x² + x/2 + ¼)
f)
a4 - b4·c4 = a4 - (b·c)4 → dividimos por (a - b·c) o por (a + b·c)
En éste caso podemos aplicar diferencia de cuadrados:
a4 - (b·c)4 = (a²)² - [(b·c)²]² = [a² - (b·c)²]·[a² + (b·c)²] = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]
Resultado (f):
a4 - b4·c4 = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]
g)
x³ + 7 → No se puede factorear.
h)
a10 - x5 = (a²)5 - x5 → dividimos por (a² - x)
a10 | 0 | 0 | 0 | 0 | - x5 | a² - x |
- a10 | + a8·x | a8 + a6·x + a4·x² + a²·x³ + x4 | ||||
0 | + a8·x | |||||
- a8·x | + a6·x² | |||||
0 | + a6·x² | |||||
- a6·x² | + a4·x³ | |||||
0 | + a4·x³ | |||||
- a4·x³ | + a²·x4 | |||||
0 | + a²·x4 | |||||
- a²·x4 | + x5 | |||||
0 | 0 |
Resultado (h):
a10 - x5 = (a² - x)·(a8 + a6·x + a4·x² + a²·x³ + x4)
i)
x6 - y6 → dividimos por (x - y) o por (x + y)
x6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - y6 | x - y |
- x6 | + x5·y | x5 + x4·y + x³·y² + x²·y³ + x·y4 + y5 | |||||
0 | + x5·y | ||||||
- x5·y | + x4·y² | ||||||
0 | + x4·y² | ||||||
- x4·y² | + x³·y³ | ||||||
0 | + x³·y³ | ||||||
- x³·y³ | + x²·y4 | ||||||
0 | + x²·y4 | ||||||
- x²·y4 | + x·y5 | ||||||
0 | + x·y5 | - y6 | |||||
- x·y5 | + y6 | ||||||
0 | 0 |
x6 - y6 = (x - y)·(x5 + x4·y + x³·y² + x²·y³ + x·y4 + y5)
En una segunda división, ahora por (x + y):
x5 | + x4·y | + x³·y² | + x²·y³ | + x·y4 | + y5 | x + y |
- x5 | - x4·y | x4 + x²·y² + y4 | ||||
0 | 0 | + x³·y² | + x²·y³ | |||
- x³·y² | - x²·y³ | |||||
0 | 0 | + x·y4 | + y5 | |||
- x·y4 | - y5 | |||||
0 | 0 |
Resultado (i):
x6 - y6 = (x - y)·(x + y)·(x4 + x²·y² + y4)
j)
x6 + y12 = (x²)³ + (y4)³ → dividimos por (x² + y4), (en la suma sólo se puede factorear si la potencia es impar).
+ x6 | 0 | 0 | + y12 | x² + y4 |
- x6 | - x4·y4 | x4 - x²·y4 + y8 | ||
0 | - x4·y4 | |||
+ x4·y4 | + x²·y8 | |||
0 | + x²·y8 | |||
- x²·y8 | - y12 | |||
0 | 0 |
Resultado (j):
x6 + y12 = (x² + y4)·(x4 - x²·y4 + y8)
k)
a7 - 128·x7 = a7 - 27·x7 = a7 - (2·x)7 → dividimos por (a - 2·x)
+a7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -128·x7 | a - 2·x |
-a7 | + 2·x·a6 | a6 + 2·x·a5 + 4·x²·a4 + 8·x³·a³ + 16·x4·a² + 32·x5·a + 64·x6 | ||||||
0 | +2·x·a6 | |||||||
-2·x·a6 | +4·x²·a5 | |||||||
0 | +4·x²·a5 | |||||||
-4·x²·a5 | +8·x³·a4 | |||||||
0 | +8·x³·a4 | |||||||
-8·x³·a4 | +16·x4·a³ | |||||||
0 | +16·x4·a³ | |||||||
-16·x4·a³ | +32·x5·a² | |||||||
0 | +32·x5·a² | |||||||
-32·x5·a² | +64·x6·a | |||||||
0 | +64·x6·a | |||||||
-64·x6·a | +128·x7 | |||||||
0 | 0 |
Resultado (k):
a7 - 128·x7 = (a - 2·x)·(a6 + 2·x·a5 + 4·x²·a4 + 8·x³·a³ + 16·x4·a² + 32·x5·a + 64·x6)
l)
x4 - 3 → No se puede factorear.
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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