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Solución del ejercicio n° 6 factoreo. Problema resuelto.

Problema n° 6 de casos de factoreo

Problema n° 6

Factorear las siguientes expresiones aplicando suma o diferencia de potencias de igual grado:

Solución

Para los siguientes casos debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:

  1. Suma de potencias de igual grado con exponente impar → dividir por la suma de sus bases
  2. Diferencia de potencias de igual grado con exponente impar → dividir por la diferencia de sus bases
  3. Diferencia de potencias de igual grado con exponente par → dividir por la suma o por la diferencia de sus bases
  4. Suma de potencias de igual grado de exponente par → no se puede dividir
  5. Ver teoría en: Sumas o restas de potencias de igual grado

A continuación se divide como polinomios.

a.

x7 + a7 → dividimos por (x + a)

x7000000+ a7x + a
- x7 -x6·ax6 - x5·a + x4·a² - x³·a³ + x²·a4 - x·a5 + a6
0- x6·a
x6·a+ x5·a²
0+ x5·a²
- x5·a²- x4·a³
0- x4·a³
x4·a³+ x³·a4
0+ x³·a4
- x³·a4- x²·a5
0- x²·a5
x²·a5+ x·a6
0+ x·a6+ a7
- x·a6- a7
00

Resultado (a):

x7 + a7 = (x + a)·(x6 - x5·a + x4·a² - x³·a³ + x²·a4 - x·a5 + a6)

b.

a³ + 8 = a³ + 2³ → dividimos por (a + 2)

00+ 8a + 2
- a³- a²·2a² - a·2 + 4
0- a²·2
a²·2+ a·4
0+ a·4+ 8
- a·4- 8
00

Resultado (b):

a³ + 8 = (a + 2)·(a² - a·2 + 4)

c.

27 + y³ = 3³ + y³ → dividimos por (3 + y)

2700+ y³3 + y
- 27- 9·y9 - 3·y + y²
0- 9·y
9·y+ 3·y²
0+ 3·y²+ y³
- 3·y²- y³
00

Resultado (c):

27 + y³ = (3 + y)·(9 - 3·y + y²)

d.

x5 + 1/32 = x5 + ½5 → dividimos por (x + ½)

x50000+ 1/32x + ½
- x5- x4/2x4 - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16
0- x4/2
x4/2+ x³/4
0+ x³/4
- x³/4- x²/8
0- x²/8
x²/8x/16
0x/16+ 1/32
- x/16- 1/32
00

Resultado (d):

x5 + 1/32 = (x + ½)·(x4 - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16)

e.

x³ - 1/8 = x³ - ½³ → dividimos por (x - ½)

00- 1/8x - ½
- x³+ x²/2x² + x/2 + ¼
0+ x²/2
- x²/2+ x/4
0+ x/4- 1/8
- x/4+ 1/8
00

Resultado (e):

x³ - 1/8 = (x - ½)·(x² + x/2 + ¼)

f.

a4 - b4·c4 = a4 - (b·c)4 → dividimos por (a - b·c) o por (a + b·c)

En éste caso podemos aplicar diferencia de cuadrados:

a4 - (b·c)4 = (a²)² - [(b·c)²]² = [a² - (b·c)²]·[a² + (b·c)²] = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]

Resultado (f):

a4 - b4·c4 = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]

g.

x³ + 7 → No se puede factorear.

h.

a10 - x5 = (a²)5 - x5 → dividimos por (a² - x)

a100000- x5a² - x
- a10+ a8·xa8 + a6·x + a4·x² + a²·x³ + x4
0+ a8·x
- a8·x+ a6·x²
0+ a6·x²
- a6·x²+ a4·x³
0+ a4·x³
- a4·x³+ a²·x4
0+ a²·x4
- a²·x4+ x5
00

Resultado (h):

a10 - x5 = (a² - x)·(a8 + a6·x + a4·x² + a²·x³ + x4)

i.

x6 - y6 → dividimos por (x - y) o por (x + y)

x600000- y6x - y
- x6+ x5·yx5 + x4·y + x³·y² + x²·y³ + x·y4 + y5
0+ x5·y
- x5·y+ x4·y²
0+ x4·y²
- x4·y²+ x³·y³
0+ x³·y³
- x³·y³+ x²·y4
0+ x²·y4
- x²·y4+ x·y5
0+ x·y5- y6
- x·y5+ y6
00

x6 - y6 = (x - y)·(x5 + x4·y + x³·y² + x²·y³ + x·y4 + y5)

En una segunda división, ahora por (x + y):

x5+ x4·y+ x³·y²+ x²·y³+ x·y4+ y5x + y
- x5- x4·yx4 + x²·y² + y4
00+ x³·y²+ x²·y³
- x³·y²- x²·y³
00+ x·y4+ y5
- x·y4- y5
00

Resultado (i):

x6 - y6 = (x - y)·(x + y)·(x4 + x²·y² + y4)

j.

x6 + y12 = (x²)³ + (y4)³ → dividimos por (x² + y4), (en la suma sólo se puede factorear si la potencia es impar).

+ x600+ y12x² + y4
- x6- x4·y4x4 - x²·y4 + y8
0- x4·y4
+ x4·y4+ x²·y8
0+ x²·y8
- x²·y8- y12
00

Resultado (j):

x6 + y12 = (x² + y4)·(x4 - x²·y4 + y8)

k.

a7 - 128·x7 = a7 - 27·x7 = a7 - (2·x)7 → dividimos por (a - 2·x)

+a7000000-128·x7a - 2·x
-a7+ 2·x·a6a6 + 2·x·a5 + 4·x²·a4 + 8·x³·a³ + 16·x4·a² + 32·x5·a + 64·x6
0+2·x·a6
-2·x·a6+4·x²·a5
0+4·x²·a5
-4·x²·a5+8·x³·a4
0+8·x³·a4
-8·x³·a4+16·x4·a³
0+16·x4·a³
-16·x4·a³+32·x5·a²
0+32·x5·a²
-32·x5·a²+64·x6·a
0+64·x6·a
-64·x6·a+128·x7
00

Resultado (k):

a7 - 128·x7 = (a - 2·x)·(a6 + 2·x·a5 + 4·x²·a4 + 8·x³·a³ + 16·x4·a² + 32·x5·a + 64·x6)

l.

x4 - 3 → No se puede factorear.

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