Problema nº 6 de casos de factoreo o factorización
Enunciado del ejercicio nº 6
Factorear las siguientes expresiones aplicando suma o diferencia de potencias de igual grado:
Solución
Para los siguientes casos debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:
1) Suma de potencias de igual grado con exponente impar ⟶ dividir por la suma de sus bases
2) Diferencia de potencias de igual grado con exponente impar ⟶ dividir por la diferencia de sus bases
3) Diferencia de potencias de igual grado con exponente par ⟶ dividir por la suma o por la diferencia de sus bases
4) Suma de potencias de igual grado de exponente par ⟶ no se puede dividir
5) Ver teoría en: Sumas o restas de potencias de igual grado
A continuación se divide como polinomios.
a)
x⁷ + a⁷ ⟶ dividimos por (x + a)
Resultado (a):
x⁷ + a⁷ = (x + a)·(x⁶ - x⁵·a + x⁴·a² - x³·a³ + x²·a⁴ - x·a⁵ + a⁶)
b)
a³ + 8 = a³ + 2³ ⟶ dividimos por (a + 2)
Resultado (b):
a³ + 8 = (a + 2)·(a² - a·2 + 4)
c)
27 + y³ = 3³ + y³ ⟶ dividimos por (3 + y)
Resultado (c):
27 + y³ = (3 + y)·(9 - 3·y + y²)
d)
x⁵ + 1/32 = x⁵ + ½⁵ ⟶ dividimos por (x + ½)
Resultado (d):
x⁵ + 1/32 = (x + ½)·(x⁴ - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16)
e)
x³ - ⅛ = x³ - ½³ ⟶ dividimos por (x - ½)
Resultado (e):
x³ - ⅛ = (x - ½)·(x² + x/2 + ¼)
f)
a⁴ - b⁴·c⁴ = a⁴ - (b·c)⁴ ⟶ dividimos por (a - b·c) o por (a + b·c)
En éste caso podemos aplicar diferencia de cuadrados (quinto caso de factorización):
a⁴ - (b·c)⁴ = (a²)² - [(b·c)²]² = [a² - (b·c)²]·[a² + (b·c)²] = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]
Resultado (f):
a⁴ - b⁴·c⁴ = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]
g)
x³ + 7 ⟶ No se puede factorear.
h)
a¹⁰ - x⁵ = (a²)⁵ - x⁵ ⟶ dividimos por (a² - x)
Resultado (h):
a¹⁰ - x⁵ = (a² - x)·(a⁸ + a⁶·x + a⁴·x² + a²·x³ + x⁴)
i)
x⁶ - y⁶ ⟶ dividimos por (x - y) o por (x + y)
x⁶ - y⁶ = (x - y)·(x⁵ + x⁴·y + x³·y² + x²·y³ + x·y⁴ + y⁵)
En una segunda división, ahora por (x + y):
Resultado (i):
x⁶ - y⁶ = (x - y)·(x + y)·(x⁴ + x²·y² + y⁴)
j)
x⁶ + y¹² = (x²)³ + (y⁴)³ ⟶ dividimos por (x² + y⁴), (en la suma sólo se puede factorear si la potencia es impar).
Resultado (j):
x⁶ + y¹² = (x² + y⁴)·(x⁴ - x²·y⁴ + y⁸)
k)
a⁷ - 128·x⁷ = a⁷ - 2⁷·x⁷ = a⁷ - (2·x)⁷ ⟶ dividimos por (a - 2·x)
Resultado (k):
a⁷ - 128·x⁷ = (a - 2·x)·(a⁶ + 2·x·a⁵ + 4·x²·a⁴ + 8·x³·a³ + 16·x⁴·a² + 32·x⁵·a + 64·x⁶)
l)
x⁴ - 3 ⟶ No se puede factorear.
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina