Enunciado del ejercicio n° 6

Factorear las siguientes expresiones aplicando suma o diferencia de potencias de igual grado:

Solución

Para los siguientes casos debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1) Suma de potencias de igual grado con exponente impar ⟶ dividir por la suma de sus bases

2) Diferencia de potencias de igual grado con exponente impar ⟶ dividir por la diferencia de sus bases

3) Diferencia de potencias de igual grado con exponente par ⟶ dividir por la suma o por la diferencia de sus bases

4) Suma de potencias de igual grado de exponente par ⟶ no se puede dividir

5) Ver teoría en: Sumas o restas de potencias de igual grado

A continuación se divide como polinomios.

a)

x⁷ + a⁷ ⟶ dividimos por (x + a)

x⁷000000+ a⁷x + a
- x⁷ -x⁶·ax⁶ - x⁵·a + x⁴·a² - x³·a³ + x²·a⁴ - x·a⁵ + a⁶
0- x⁶·a
x⁶·a+ x⁵·a²
0+ x⁵·a²
- x⁵·a²- x⁴·a³
0- x⁴·a³
x⁴·a³+ x³·a⁴
0+ x³·a⁴
- x³·a⁴- x²·a⁵
0- x²·a⁵
x²·a⁵+ x·a⁶
0+ x·a⁶+ a⁷
- x·a⁶- a⁷
00

Resultado (a):

x⁷ + a⁷ = (x + a)·(x⁶ - x⁵·a + x⁴·a² - x³·a³ + x²·a⁴ - x·a⁵ + a⁶)

b)

a³ + 8 = a³ + 2³ ⟶ dividimos por (a + 2)

00+ 8a + 2
- a³- a²·2a² - a·2 + 4
0- a²·2
a²·2+ a·4
0+ a·4+ 8
- a·4- 8
00

Resultado (b):

a³ + 8 = (a + 2)·(a² - a·2 + 4)

c)

27 + y³ = 3³ + y³ ⟶ dividimos por (3 + y)

2700+ y³3 + y
- 27- 9·y9 - 3·y + y²
0- 9·y
9·y+ 3·y²
0+ 3·y²+ y³
- 3·y²- y³
00

Resultado (c):

27 + y³ = (3 + y)·(9 - 3·y + y²)

d)

x⁵ + 1/32 = x⁵ + ½⁵ ⟶ dividimos por (x + ½)

x⁵0000+ 1/32x + ½
- x⁵- x⁴/2x⁴ - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16
0- x⁴/2
x⁴/2+ x³/4
0+ x³/4
- x³/4- x²/8
0- x²/8
x²/8x/16
0x/16+ 1/32
- x/16- 1/32
00

Resultado (d):

x⁵ + 1/32 = (x + ½)·(x⁴ - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16)

e)

x³ - ⅛ = x³ - ½³ ⟶ dividimos por (x - ½)

00- ⅛x - ½
- x³+ x²/2x² + x/2 + ¼
0+ x²/2
- x²/2+ x/4
0+ x/4- ⅛
- x/4+ ⅛
00

Resultado (e):

x³ - ⅛ = (x - ½)·(x² + x/2 + ¼)

f)

a⁴ - b⁴·c⁴ = a⁴ - (b·c)⁴ ⟶ dividimos por (a - b·c) o por (a + b·c)

En éste caso podemos aplicar diferencia de cuadrados:

a⁴ - (b·c)⁴ = (a²)² - [(b·c)²]² = [a² - (b·c)²]·[a² + (b·c)²] = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]

Resultado (f):

a⁴ - b⁴·c⁴ = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]

g)

x³ + 7 ⟶ No se puede factorear.

h)

a¹⁰ - x⁵ = (a²)⁵ - x⁵ ⟶ dividimos por (a² - x)

a¹⁰0000- x⁵a² - x
- a¹⁰+ a⁸·xa⁸ + a⁶·x + a⁴·x² + a²·x³ + x⁴
0+ a⁸·x
- a⁸·x+ a⁶·x²
0+ a⁶·x²
- a⁶·x²+ a⁴·x³
0+ a⁴·x³
- a⁴·x³+ a²·x⁴
0+ a²·x⁴
- a²·x⁴+ x⁵
00

Resultado (h):

a¹⁰ - x⁵ = (a² - x)·(a⁸ + a⁶·x + a⁴·x² + a²·x³ + x⁴)

i)

x⁶ - y⁶ ⟶ dividimos por (x - y) o por (x + y)

x⁶00000- y⁶x - y
- x⁶+ x⁵·yx⁵ + x⁴·y + x³·y² + x²·y³ + x·y⁴ + y⁵
0+ x⁵·y
- x⁵·y+ x⁴·y²
0+ x⁴·y²
- x⁴·y²+ x³·y³
0+ x³·y³
- x³·y³+ x²·y⁴
0+ x²·y⁴
- x²·y⁴+ x·y⁵
0+ x·y⁵- y⁶
- x·y⁵+ y⁶
00

x⁶ - y⁶ = (x - y)·(x⁵ + x⁴·y + x³·y² + x²·y³ + x·y⁴ + y⁵)

En una segunda división, ahora por (x + y):

x⁵+ x⁴·y+ x³·y²+ x²·y³+ x·y⁴+ y⁵x + y
- x⁵- x⁴·yx⁴ + x²·y² + y⁴
00+ x³·y²+ x²·y³
- x³·y²- x²·y³
00+ x·y⁴+ y⁵
- x·y⁴- y⁵
00

Resultado (i):

x⁶ - y⁶ = (x - y)·(x + y)·(x⁴ + x²·y² + y⁴)

j)

x⁶ + y¹² = (x²)³ + (y⁴)³ ⟶ dividimos por (x² + y⁴), (en la suma sólo se puede factorear si la potencia es impar).

+ x⁶00+ y¹²x² + y⁴
- x⁶- x⁴·y⁴x⁴ - x²·y⁴ + y⁸
0- x⁴·y⁴
+ x⁴·y⁴+ x²·y⁸
0+ x²·y⁸
- x²·y⁸- y¹²
00

Resultado (j):

x⁶ + y¹² = (x² + y⁴)·(x⁴ - x²·y⁴ + y⁸)

k)

a⁷ - 128·x⁷ = a⁷ - 2⁷·x⁷ = a⁷ - (2·x)⁷ ⟶ dividimos por (a - 2·x)

+a⁷000000-128·x⁷a - 2·x
-a⁷+ 2·x·a⁶a⁶ + 2·x·a⁵ + 4·x²·a⁴ + 8·x³·a³ + 16·x⁴·a² + 32·x⁵·a + 64·x⁶
0+2·x·a⁶
-2·x·a⁶+4·x²·a⁵
0+4·x²·a⁵
-4·x²·a⁵+8·x³·a⁴
0+8·x³·a⁴
-8·x³·a⁴+16·x⁴·a³
0+16·x⁴·a³
-16·x⁴·a³+32·x⁵·a²
0+32·x⁵·a²
-32·x⁵·a²+64·x⁶·a
0+64·x⁶·a
-64·x⁶·a+128·x⁷
00

Resultado (k):

a⁷ - 128·x⁷ = (a - 2·x)·(a⁶ + 2·x·a⁵ + 4·x²·a⁴ + 8·x³·a³ + 16·x⁴·a² + 32·x⁵·a + 64·x⁶)

l)

x⁴ - 3 ⟶ No se puede factorear.

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