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Problemas n° 1 a 5 de casos de factoreo

Enunciado del ejercicio n° 1

Factorear las siguientes expresiones aplicando factor común:

a) 125·a⁴·b⁵·c⁵ - 45·a⁵·b³·c⁴·x³ + 5·a³·b²·c⁴ - 300·a⁴·b²·c⁸·x - 10·a³·b²·c⁵

b) 3·a²·x³·y + 4·a⁵·x²·y³ - 6·a⁴·x⁶ - 10·a·x⁴

c) 3·m⁶·p⁴·q² - 9·m⁵·p²·q·x + 3·m⁷·p³·q·x + 3·m⁴·p²·q - 6·m⁵·p⁴·q·x²·y

Solución

a) 5·a³·b²·c⁴·(25·a·b³·c - 9·a²·b·x³ + 1 - 60·a·c⁴·x - 2·c)

b) a·x²·(3·a·x·y + 4·a⁴·y³ - 6·a³·x⁴ - 10·x²)

c) 3·m⁴·p²·q·(m²·p²·q - 3·m·x + m³·p·x + 1 - 2·m·p²·x²·y)

Enunciado del ejercicio n° 2

Factorear las siguientes expresiones por grupos:

a) 2·a·x + 2·b·x + 5·a - a·y - b·y + 5·b

b) a²·y + a·b² - a·x·y - b²·x

c) 10·a·m²·x·z - 15·b·m²·x·z + 10·a·x - 15·b·x - 8·a·m²·y·z + 12·b·m²·y·z - 8·a·y + 12·b·y

d) 5·a·m·x/3 + 20·a·m·y - 2·b·m·x/3 - 8·b·m·y - 10·a·n·x/9 - 40·a·n·y/3 + 4·b·n·x/9 + 16·b·n·y/3

Solución

a)

(2·a·x + 2·b·x) - (a·y + b·y) + (5·a + 5·b) =

= 2·x·(a + b) - y·(a + b) + 5·(a + b) =

= (a + b)·(2·x - y + 5)

b)

(a²·y + a·b²) - (a·x·y + b²·x) =

= a·(a·y + b²) - x·(a·y + b²) =

= (a·y + b²)·(a - x)

c)

5·m²·x·z·(2·a - 3·b) + 5·x·(2·a - 3·b) - 4·m²·y·z·(2·a - 3·b) - 4·y·(2·a - 3·b) =

= (2·a - 3·b)·(5·m²·x·z + 5·x - 4·m²·y·z - 4·y) =

= (2·a - 3·b)·[(5·m²·x·z + 5·x) - (4·m²·y·z + 4·y)] =

= (2·a - 3·b)·[5·x·(m²·z + 1) - 4·y·(m²·z + 1)] =

= (2·a - 3·b)·(m²·z + 1)·(5·x - 4·y)

d)

(5·a·m·x/3 + 20·a·m·y) - (2·b·m·x/3 + 8·b·m·y) - (10·a·n·x/9 + 40·a·n·y/3) + (4·b·n·x/9 + 16·b·n·y/3) =

= 5·a·m·(x/3 + 4·y) - 2·b·m·(x/3 + 4·y) - (10/3)·a·n·(x/3 + 4·y) + (4/3)·b·n·(x/3 + 4·y) =

= (x/3 + 4·y)·(5·a·m - 2·b·m - (10/3)·a·n + (4/3)·b·n) =

= (x/3 + 4·y)·[m·(5·a - 2·b) - ⅔·n·(5·a - 2·b)] =

= (x/3 + 4·y)·[(5·a - 2·b)·(m - 2·n/3)]

Enunciado del ejercicio n° 3

Factorear las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado perfecto:

a) a⁶/4 + 3·a³·m²·n + 9·m⁴·n²

b) a⁴ + p⁴/4 + a²·p²

c) 9·x⁶/25 + 4·y² - 12·x³·y/5

d) -3·x²·y⁶·m/5 + m²/4 - 9·x⁴·y¹²

Solución

a)

Como:

a⁶/4 = (a³/2)²

9·m⁴·n² = (3·m²·n)²

3·a³·m²·n = 2·(a³/2)·(3·m²·n)

Por lo tanto:

(a³/2 + 3·m²·n)²

b)

Como:

a⁴ = (a²)²

p⁴/4 = (p²/2)²

a²·p² = 2·a²·p²/2

Por lo tanto:

(a² + p²/2)²

c)

Como:

9·x⁶/25 = (3·x³/5)²

4·y² = (2·y)²

- 12·x³·y/5 = -2·2·y·3·x³/5

Por lo tanto:

(2·y + 3·x³/5)²

d)

Si bien:

9·x⁴·y¹² = (3·x²·y⁶)²

m²/4 = (m/2)²

No se cumple:

-3·x²·y⁶·m/5 ≠ - 2·3·x²·y³·m/2

Además uno de los términos al cuadrado es negativo.

Enunciado del ejercicio n° 4

Factorear las siguientes expresiones aplicando cuatrinomio cubo perfecto:

a) 64·m⁶ + 96·m⁴·n + 48·m²·n² + 8·n³

b) x³/27 - x²·a/3 + x·a² - a³

c) 0,125 - 0,75·x·y + 1,5·x²·y² - x³·y³

Recordemos la ecuación del cuatrinomio cubo perfecto:

(a ± b)³ = a³ ± 3·a²·b + 3·a·b² ± b³

Solución

a)

64·m⁶ + 96·m⁴·n + 48·m²·n² + 8·n³

Primero identificamos los términos elevados al cubo y los expresamos como potencias de 3:

64·m⁶ = (4·m²)³

8·n³ = (2·n)³

De aquí se deduce fácilmente que:

96·m²·n = (3/3)·96·m⁴·n = 3·32·m⁴·n = 3·16·2·m⁴·n = 3·(4·m²)²·2·n

48·m²·n² = (3/3)·48·m²·n² = 3·16·m²·n² = 3·4·4·m²·n² = 3·4·m²·(2·n)²

Por lo tanto los términos del binomio al cubo serán:

a = 4·m²

b = 2·n

Finalmente armamos el binomio al cubo:

(4·m² + 2·n)³ = 64·m⁶ + 96·m⁴·n + 48·m²·n² + 8·n³

b)

x³/27 - x²·a/3 + x·a² - a³

Primero identificamos los términos elevados al cubo y los expresamos como potencias de 3:

x³/27 = (x/3)³

-a³ = (-a)³

De aquí se deduce fácilmente que:

-x²·a/3 = (3/3)·(-x²·a/3) = 3·(x²/9)·(-a) = 3·(x/3)²·(-a)

x·a² = (3/3)·x·a² = 3·(x/3)·a² = 3·(x/3)·(-a)²

Por lo tanto los términos del binomio al cubo serán:

a = x/3

b = -a.

Finalmente armamos el binomio al cubo:

(x/3 - a)³ = x³/27 - x²·a/3 + x·a² - a³

c)

0,125 - 0,75·x·y + 1,5·x²·y² - x³·y³

Primero identificamos los términos elevados al cubo y los expresamos como potencias de 3:

0,125 = 0,5³

-x³·y³ = (-x·y)³

De aquí se deduce fácilmente que:

-0,75·x·y = (3/3)·(-0,75·x·y) = 3·0,25·(-x·y) = 3·0,5²·(-x·y)

1,5·x²·y² = (3/3)·1,5·x²·y² = 3·0,5·x²·y² = 3·0,5·(-x·y)²

Por lo tanto los términos del binomio al cubo serán:

a = 0,5

b = -x·y

Finalmente armamos el binomio al cubo:

(0,5 - x·y)³ = 0,125 - 0,75·x·y + 1,5·x²·y² - x³·y³

Enunciado del ejercicio n° 5

Factorear las siguientes expresiones aplicando diferencia de cuadrados:

a) 144·m⁶ - 121·x⁸·y⁴

b) -n²/4 + a⁴·b⁶/9

c) x²·y² - (x² + y²)²

d) a⁶·b²/4 - 0,01·m⁸·n⁴

e) (x - y)² - a²

f) 3·z⁴·m² - 2·y⁶

Solución

a)

(12·m³)² - (11·x⁴·y²)² = (12·m³ - 11·x⁴·y²)·(12·m³ + 11·x⁴·y²)

b)

(a²·b³/3)² - (n/2)² = (a²·b³/3 - n/2)·(a²·b³/3 + n/2)

c)

(x·y)² - (x² + y²)² = [x·y - (x² + y²)]·[x·y + (x² + y²)]

d)

(a³·b/2)² - (0,1·m⁴·n²)² = (a³·b/2 - 0,1·m⁴·n²)·(a³·b/2 + 0,1·m⁴·n²)

e)

(x - y)² - a² = (x - y - a)·(x - y + a)

f)

3·z⁴·m² - 2·y⁶ = (√3·z²·m)² - (√2·y³)² = (√3·z²·m - √2·y³)·(√3·z²·m + √2·y³)

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