Problemas n° 1 a 7 de casos de factoreo.

Problema n° 1) Factorear las siguientes expresiones aplicando factor común:

a) 125·a⁴·b⁵·c⁵ - 45·a⁵·b³·c⁴·x³ + 5·a³·b²·c⁴ - 300·a⁴·b²·c⁸·x - 10·a³·b²·c⁵

b) 3·a²·x³·y + 4·a⁵·x²·y³ - 6·a⁴·x⁶ - 10·a·x⁴

c) 3·m⁶·p⁴·q² - 9·m⁵·p²·q·x + 3·m⁷·p³·q·x + 3·m⁴·p²·q - 6·m⁵·p⁴·q·x²·y

Solución

a) 5·a³·b²·c⁴·(25·a·b³·c - 9·a²·b·x³ + 1 - 60·a·c⁴·x - 2·c)

b) a·x²·(3·a·x·y + 4·a⁴·y³ - 6·a³·x⁴ - 10·x²)

c) 3·m⁴·p²·q·(m²·p²·q - 3·m·x + m³·p·x + 1 - 2·m·p²·x²·y)

Problema n° 2) Factorear las siguientes expresiones por grupos:

a) 2·a·x + 2·b·x + 5·a - a·y - b·y + 5·b

b) a²·y + a·b² - a·x·y - b²·x

c) 10·a·m²·x·z - 15·b·m²·x·z + 10·a·x - 15·b·x - 8·a·m²·y·z + 12·b·m²·y·z - 8·a·y + 12·b·y

d) 5·a·m·x/3 + 20·a·m·y - 2·b·m·x/3 - 8·b·m·y - 10·a·n·x/9 - 40·a·n·y/3 + 4·b·n·x/9 + 16·b·n·y/3

Solución

a) (2·a·x + 2·b·x) - (a·y + b·y) + (5·a + 5·b) =

= 2·x·(a + b) - y·(a + b) + 5·(a + b) =

= (a + b)·(2·x - y + 5)

b) (a²·y + a·b²) - (a·x·y + b²·x) =

= a·(a·y + b²) - x·(a·y + b²) =

= (a·y + b²)·(a - x)

c) 5·m²·x·z·(2·a - 3·b) + 5·x·(2·a - 3·b) - 4·m²·y·z·(2·a - 3·b) - 4·y·(2·a - 3·b) =

= (2·a - 3·b)·(5·m²·x·z + 5·x - 4·m²·y·z - 4·y) =

= (2·a - 3·b)·[(5·m²·x·z + 5·x) - (4·m²·y·z + 4·y)] =

= (2·a - 3·b)·[5·x·(m²·z + 1) - 4·y·(m²·z + 1)] =

= (2·a - 3·b)·(m²·z + 1)·(5·x - 4·y)

d) (5·a·m·x/3 + 20·a·m·y) - (2·b·m·x/3 + 8·b·m·y) - (10·a·n·x/9 + 40·a·n·y/3) + (4·b·n·x/9 + 16·b·n·y/3) =

= 5·a·m·(x/3 + 4·y) - 2·b·m·(x/3 + 4·y) - (10/3)·a·n·(x/3 + 4·y) + (4/3)·b·n·(x/3 + 4·y) =

= (x/3 + 4·y)·(5·a·m - 2·b·m - (10/3)·a·n + (4/3)·b·n) =

= (x/3 + 4·y)·[m·(5·a - 2·b) - (2/3)·n·(5·a - 2·b)] =

= (x/3 + 4·y)·[(5·a - 2·b)·(m - 2·n/3)]

Problema n° 3) Factorear las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado perfecto:

a) a⁶/4 + 3·a³·m²·n + 9·m⁴·n²

b) a⁴ + p⁴/4 + a²·p²

c) 9·x⁶/25 + 4·y² - 12·x³·y/5

d) -3·x²·y⁶·m/5 + m²/4 - 9·x⁴·y¹²

Solución

a) Como:

a⁶/4 = (a³/2)²

9·m⁴·n² = (3·m²·n)²

3·a³·m²·n = 2·(a³/2)·(3·m²·n)

Por lo tanto:

(a³/2 + 3·m²·n)²

b) Como:

a⁴ = (a²)²

p⁴/4 = (p²/2)²

a²·p² = 2·a²·p²/2

Por lo tanto:

(a² + p²/2)²

c) Como:

9·x⁶/25 = (3·x³/5)²

4·y² = (2·y)²

- 12·x³·y/5 = -2·2·y·3·x³/5

Por lo tanto:

(2·y + 3·x³/5)²

d) Si bien:

9·x⁴·y¹² = (3·x²·y⁶)²

m²/4 = (m/2)²

No se cumple:

-3·x²·y⁶·m/5 ≠ - 2·3·x²·y³·m/2

Además uno de los términos al cuadrado es negativo.

Problema n° 4) Factorear las siguientes expresiones aplicando cuatrinomio cubo perfecto:

a) 64·m⁶ + 96·m⁴·n + 48·m²·n² + 8·n³

b) x³/27 - x²·a/3 + x·a² - a³

c) 0,125 - 0,75·x·y + 1,5·x²·y² - x³·y³

Recordemos la ecuación del cuatrinomio cubo perfecto:

(a ± b)³ = a³ ± 3·a²·b + 3·a·b² ± b³

Solución

a) 64·m⁶ + 96·m⁴·n + 48·m²·n² + 8·n³

Primero identificamos los términos elevados al cubo y los expresamos como potencias de 3:

64·m⁶ = (4·m²)³

8·n³ = (2·n)³

De aquí se deduce fácilmente que:

96·m²·n = (3/3)·96·m⁴·n = 3·32·m⁴·n = 3·16·2·m⁴·n = 3·(4·m²)²·2·n

48·m²·n² = (3/3)·48·m²·n² = 3·16·m²·n² = 3·4·4·m²·n² = 3·4·m²·(2·n)²

Por lo tanto los términos del binomio al cubo serán:

a = 4·m²

b = 2·n

Finalmente armamos el binomio al cubo:

(4·m² + 2·n) = 64·m⁶ + 96·m⁴·n + 48·m²·n² + 8·n³

b) x³/27 - x²·a/3 + x·a² - a³

Primero identificamos los términos elevados al cubo y los expresamos como potencias de 3:

x³/27 = (x/3)³

-a³ = (-a)³

De aquí se deduce fácilmente que:

-x²·a/3 = (3/3)·(-x²·a/3) = 3·(x²/9)·(-a) = 3·(x/3)²·(-a)

x·a² = (3/3)·x·a² = 3·(x/3)·a² = 3·(x/3)·(-a)²

Por lo tanto los términos del binomio al cubo serán:

a = x/3

b = -a

Finalmente armamos el binomio al cubo:

(x/3 - a) = x³/27 - x²·a/3 + x·a² - a³

c) 0,125 - 0,75·x·y + 1,5·x²·y² - x³·y³

Primero identificamos los términos elevados al cubo y los expresamos como potencias de 3:

0,125 = 0,5³

-x³·y³ = (-x·y)³

De aquí se deduce fácilmente que:

-0,75·x·y = (3/3)·(-0,75·x·y) = 3·0,25·(-x·y) = 3·0,5²·(-x·y)

1,5·x²·y² = (3/3)·1,5·x²·y² = 3·0,5·x²·y² = 3·0,5·(-x·y)²

Por lo tanto los términos del binomio al cubo serán:

a = 0,5

b = -x·y

Finalmente armamos el binomio al cubo:

(0,5 - x·y) = 0,125 - 0,75·x·y + 1,5·x²·y² - x³·y³

Problema n° 5) Factorear las siguientes expresiones aplicando diferencia de cuadrados:

a) 144·m⁶ - 121·x⁸·y⁴

b) -n²/4 + a⁴·b⁶/9

c) x²·y² - (x² + y²)²

d) a⁶·b²/4 - 0,01·m⁸·n⁴

e) (x - y)² - a²

f) 3·z⁴·m² - 2·y⁶

Solución

a) (12·m³)² - (11·x⁴·y²)² = (12·m³ - 11·x⁴·y²)·(12·m³ + 11·x⁴·y²)

b) (a²·b³/3)² - (n/2)² = (a²·b³/3 - n/2)·(a²·b³/3 + n/2)

c) (x·y)² - (x² + y²)² = [x·y - (x² + y²)]·[x·y + (x² + y²)]

d) (a³·b/2)² - (0,1·m⁴·n²)² = (a³·b/2 - 0,1·m⁴·n²)·(a³·b/2 + 0,1·m⁴·n²)

e) (x - y)² - a² = (x - y - a)·(x - y + a)

f) 3·z⁴·m² - 2·y⁶ = (√3·z²·m)² - (√2·y³)² = (√3·z²·m - √2·y³)·(√3·z²·m + √2·y³)

Problema n° 6) Factorear las siguientes expresiones aplicando suma o diferencia de potencias de igual grado:

Solución

Para los siguientes casos debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1. Suma de potencias de igual grado con exponente impar → dividir por la suma de sus bases.
2. Diferencia de potencias de igual grado con exponente impar → dividir por la diferencia de sus bases.
3. Diferencia de potencias de igual grado con exponente par → dividir por la suma o por la diferencia de sus bases.
4. Suma de potencias de igual grado de exponente par → no se puede dividir.
5. Ver teoría en: Sumas o restas de potencias de igual grado

A continuación se divide como polinomios.

a) x⁷ + a⁷ → dividimos por (x + a)

x⁷ + a⁷ = (x + a)·(x⁶ - x⁵·a + x⁴·a² - x³·a³ + x²·a⁴ - x·a⁵ + a⁶)

b) a³ + 8 = a³ + 2³ → dividimos por (a + 2)

a³ + 8 = (a + 2)·(a² - a.2 + 4)

c) 27 + y³ = 3³ + y³ → dividimos por (3 + y)

27 + y³ = (3 + y)·(9 - 3·y + y²)

d) x⁵ + 1/32 = x⁵ + ½⁵ → dividimos por (x + ½)

x⁵ + 1/32 = (x + ½)·(x⁴ - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16)

e) x³ - 1/8 = x³ - ½³ → dividimos por (x - ½)

x³ - 1/8 = (x - ½)·(x² + x/2 + ¼)

f) a⁴ - b⁴·c⁴ = a⁴ - (b·c)⁴ → dividimos por (a - b·c) o por (a + b·c)

En éste caso podemos aplicar diferencia de cuadrados:

a⁴ - (b·c)⁴ = (a²)² - [(b·c)²]² = [a² - (b·c)²]·[a² + (b·c)²] = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]

a⁴ - b⁴·c⁴ = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]

g) x³ + 7 → No se puede factorear.

h) a¹⁰ - x⁵ = (a²)⁵ - x⁵ → dividimos por (a² - x)

a¹⁰ - x⁵ = (a² - x)·(a⁸ + a⁶·x + a⁴·x² + a²·x³ + x⁴)

i) x⁶ - y⁶ → dividimos por (x - y) o por (x + y)

x⁶ - y⁶ = (x - y)·(x⁵ + x⁴·y + x³·y² + x²·y³ + x·y⁴ + y⁵)

En una segunda división, ahora por (x + y):

x⁶ - y⁶ = (x - y)·(x + y)·(x⁴ + x²·y² + y⁴)

j) x⁶ + y¹² = (x²)³ + (y⁴)³ → dividimos por (x² + y⁴), (en la suma sólo se puede factorear si la potencia es impar).

x⁶ + y¹² = (x² + y⁴)·(x⁴ - x²·y⁴ + y⁸)

k) a⁷ - 128·x⁷ = a⁷ - 2⁷·x⁷ = a⁷ - (2·x)⁷ → dividimos por (a - 2·x)

a⁷ - 128·x⁷ = (a - 2·x)·(a⁶ + 2·x·a⁵ + 4·x²·a⁴ + 8·x³·a³ + 16·x⁴·a² + 32·x⁵·a + 64·x⁶)

l) x⁴ - 3 → No se puede factorear.

Problema n° 7) Factorear las siguientes expresiones:

a) 5·x² - 10·x·y + 5·y²

b) 3·x⁹·y⁷ - 12·x⁷·y⁹

c) a³ - a² - a + 1

Solución

a) 5·x² - 10·x·y + 5·y² = 5·(x² - 2·x·y + y²) = 5·(x - y)²

b) 3·x⁹·y⁷ - 12·x⁷·y⁹ = 3·x⁷·y⁷·(x² - 4·y²) = 3·x⁷·y⁷·(x - 2·y)·(x + 2·y)

c) a³ - a² - a + 1 = (a³ - a²) - (a - 1) = a²·(a - 1) - (a - 1) = (a² - 1)·(a - 1) = (a - 1)·(a + 1)·(a - 1) = (a - 1)²·(a + 1)

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