Guía de ejercicios resueltos de casos de factoreo. TP01

Factoreo: Solución de los ejercicios n° 1 a 7 factoreo. Problema resuelto.

Problemas n° 1 a 7 de casos de factoreo.

Problema n° 1) Factorear las siguientes expresiones aplicando factor común:

  1. 125·a4·b5·c5 - 45·a5·b³·c4·x³ + 5·a³·b²·c4 - 300·a4·b²·c8·x - 10·a³·b²·c5
  2. 3·a²·x³·y + 4·a5·x²·y³ - 6·a4·x6 - 10·a·x4
  3. 3·m6·p4·q² - 9·m5·p²·q·x + 3·m7·p³·q·x + 3·m4·p²·q - 6·m5·p4·q·x²·y

Solución

  1. 5·a³·b²·c4·(25·a·b³·c - 9·a²·b·x³ + 1 - 60·a·c4·x - 2·c)
  2. a·x²·(3·a·x·y + 4·a4·y³ - 6·a³·x4 - 10·x²)
  3. 3·m4·p²·q·(m²·p²·q - 3·m·x + m³·p·x + 1 - 2·m·p²·x²·y)

Problema n° 2) Factorear las siguientes expresiones por grupos:

  1. 2·a·x + 2·b·x + 5·a - a·y - b·y + 5·b
  2. a²·y + a·b² - a·x·y - b²·x
  3. 10·a·m²·x·z - 15·b·m²·x·z + 10·a·x - 15·b·x - 8·a·m²·y·z + 12·b·m²·y·z - 8·a·y + 12·b·y
  4. 5·a·m·x/3 + 20·a·m·y - 2·b·m·x/3 - 8·b·m·y - 10·a·n·x/9 - 40·a·n·y/3 + 4·b·n·x/9 + 16·b·n·y/3

Solución

a.

(2·a·x + 2·b·x) - (a·y + b·y) + (5·a + 5·b) =

= 2·x·(a + b) - y·(a + b) + 5·(a + b) =

= (a + b)·(2·x - y + 5)

b.

(a²·y + a·b²) - (a·x·y + b²·x) =

= a·(a·y + b²) - x·(a·y + b²) =

= (a·y + b²)·(a - x)

c.

5·m²·x·z·(2·a - 3·b) + 5·x·(2·a - 3·b) - 4·m²·y·z·(2·a - 3·b) - 4·y·(2·a - 3·b) =

= (2·a - 3·b)·(5·m²·x·z + 5·x - 4·m²·y·z - 4·y) =

= (2·a - 3·b)·[(5·m²·x·z + 5·x) - (4·m²·y·z + 4·y)] =

= (2·a - 3·b)·[5·x·(m²·z + 1) - 4·y·(m²·z + 1)] =

= (2·a - 3·b)·(m²·z + 1)·(5·x - 4·y)

d.

(5·a·m·x/3 + 20·a·m·y) - (2·b·m·x/3 + 8·b·m·y) - (10·a·n·x/9 + 40·a·n·y/3) + (4·b·n·x/9 + 16·b·n·y/3) =

= 5·a·m·(x/3 + 4·y) - 2·b·m·(x/3 + 4·y) - (10/3)·a·n·(x/3 + 4·y) + (4/3)·b·n·(x/3 + 4·y) =

= (x/3 + 4·y)·(5·a·m - 2·b·m - (10/3)·a·n + (4/3)·b·n) =

= (x/3 + 4·y)·[m·(5·a - 2·b) - (2/3)·n·(5·a - 2·b)] =

= (x/3 + 4·y)·[(5·a - 2·b)·(m - 2·n/3)]

Problema n° 3) Factorear las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado perfecto:

  1. a6/4 + 3·a³·m²·n + 9·m4·n²
  2. a4 + p4/4 + a²·p²
  3. 9·x6/25 + 4·y² - 12·x³·y/5
  4. -3·x²·y6·m/5 + m²/4 - 9·x4·y12

Solución

a.

Como:

a6/4 = (a³/2)²

9·m4·n² = (3·m²·n)²

3·a³·m²·n = 2·(a³/2)·(3·m²·n)

Por lo tanto:

(a³/2 + 3·m²·n)²

b.

Como:

a4 = (a²)²

p4/4 = (p²/2)²

a²·p² = 2·a²·p²/2

Por lo tanto:

(a² + p²/2)²

c.

Como:

9·x6/25 = (3·x³/5)²

4·y² = (2·y)²

- 12·x³·y/5 = -2·2·y·3·x³/5

Por lo tanto:

(2·y + 3·x³/5)²

d.

Si bien:

9·x4·y12 = (3·x²·y6

m²/4 = (m/2)²

No se cumple:

-3·x²·y6·m/5 ≠ - 2·3·x²·y³·m/2

Además uno de los términos al cuadrado es negativo.

Problema n° 4) Factorear las siguientes expresiones aplicando cuatrinomio cubo perfecto:

  1. 64·m6 + 96·m4·n + 48·m²·n² + 8·n³
  2. x³/27 - x²·a/3 + x·a² - a³
  3. 0,125 - 0,75·x·y + 1,5·x²·y² - x³·y³

Recordemos la ecuación del cuatrinomio cubo perfecto:

(a ± b)³ = a³ ± 3·a²·b + 3·a·b² ± b³

Solución

a.

64·m6 + 96·m4·n + 48·m²·n² + 8·n³

Primero identificamos los términos elevados al cubo y los expresamos como potencias de 3:

64·m6 = (4·m²)³

8·n³ = (2·n)³

De aquí se deduce fácilmente que:

96·m²·n = (3/3)·96·m4·n = 3·32·m4·n = 3·16·2·m4·n = 3·(4·m²)²·2·n

48·m²·n² = (3/3)·48·m²·n² = 3·16·m²·n² = 3·4·4·m²·n² = 3·4·m²·(2·n)²

Por lo tanto los términos del binomio al cubo serán:

a = 4·m²

b = 2·n

Finalmente armamos el binomio al cubo:

(4·m² + 2·n)³ = 64·m6 + 96·m4·n + 48·m²·n² + 8·n³

b.

x³/27 - x²·a/3 + x·a² - a³

Primero identificamos los términos elevados al cubo y los expresamos como potencias de 3:

x³/27 = (x/3)³

-a³ = (-a)³

De aquí se deduce fácilmente que:

-x²·a/3 = (3/3)·(-x²·a/3) = 3·(x²/9)·(-a) = 3·(x/3)²·(-a)

x·a² = (3/3)·x·a² = 3·(x/3)·a² = 3·(x/3)·(-a)²

Por lo tanto los términos del binomio al cubo serán:

a = x/3

b = -a.

Finalmente armamos el binomio al cubo:

(x/3 - a)³ = x³/27 - x²·a/3 + x·a² - a³

c.

0,125 - 0,75·x·y + 1,5·x²·y² - x³·y³

Primero identificamos los términos elevados al cubo y los expresamos como potencias de 3:

0,125 = 0,5³

-x³·y³ = (-x·y)³

De aquí se deduce fácilmente que:

-0,75·x·y = (3/3)·(-0,75·x·y) = 3·0,25·(-x·y) = 3·0,5²·(-x·y)

1,5·x²·y² = (3/3)·1,5·x²·y² = 3·0,5·x²·y² = 3·0,5·(-x·y)²

Por lo tanto los términos del binomio al cubo serán:

a = 0,5

b = -x·y

Finalmente armamos el binomio al cubo:

(0,5 - x·y)³ = 0,125 - 0,75·x·y + 1,5·x²·y² - x³·y³

Problema n° 5) Factorear las siguientes expresiones aplicando diferencia de cuadrados:

  1. 144·m6 - 121·x8·y4
  2. -n²/4 + a4·b6/9
  3. x²·y² - (x² + y²)²
  4. a6·b²/4 - 0,01·m8·n4
  5. (x - y)² - a²
  6. 3·z4·m² - 2·y6

Solución

a.

(12·m³)² - (11·x4·y²)² = (12·m³ - 11·x4·y²)·(12·m³ + 11·x4·y²)

b.

(a²·b³/3)² - (n/2)² = (a²·b³/3 - n/2)·(a²·b³/3 + n/2)

c.

(x·y)² - (x² + y²)² = [x·y - (x² + y²)]·[x·y + (x² + y²)]

d.

(a³·b/2)² - (0,1·m4·n²)² = (a³·b/2 - 0,1·m4·n²)·(a³·b/2 + 0,1·m4·n²)

e.

(x - y)² - a² = (x - y - a)·(x - y + a)

f.

3·z4·m² - 2·y6 = (3·z²·m)² - (2·y³)² = (3·z²·m - 2·y³)·(3·z²·m + 2·y³)

Problema n° 6) Factorear las siguientes expresiones aplicando suma o diferencia de potencias de igual grado:

Solución

Para los siguientes casos debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:

  1. Suma de potencias de igual grado con exponente impar → dividir por la suma de sus bases
  2. Diferencia de potencias de igual grado con exponente impar → dividir por la diferencia de sus bases
  3. Diferencia de potencias de igual grado con exponente par → dividir por la suma o por la diferencia de sus bases
  4. Suma de potencias de igual grado de exponente par → no se puede dividir
  5. Ver teoría en: Sumas o restas de potencias de igual grado

A continuación se divide como polinomios.

a.

x7 + a7 → dividimos por (x + a)

x7

0

0

0

0

0

0

+ a7

x + a

- x7

-x6·a

x6 - x5·a + x4·a² - x³·a³ + x²·a4 - x·a5 + a6

0

- x6·a

x6·a

+ x5·a²

0

+ x5·a²

- x5·a²

- x4·a³

0

- x4·a³

x4·a³

+ x³·a4

0

+ x³·a4

- x³·a4

- x²·a5

0

- x²·a5

x²·a5

+ x·a6

0

+ x·a6

+ a7

- x·a6

- a7

0

0

Resultado (a):

x7 + a7 = (x + a)·(x6 - x5·a + x4·a² - x³·a³ + x²·a4 - x·a5 + a6)

b.

a³ + 8 = a³ + 2³ → dividimos por (a + 2)

0

0

+ 8

a + 2

- a³

- a²·2

a² - a·2 + 4

0

- a²·2

a²·2

+ a·4

0

+ a·4

+ 8

- a·4

- 8

0

0

Resultado (b):

a³ + 8 = (a + 2)·(a² - a·2 + 4)

c.

27 + y³ = 3³ + y³ → dividimos por (3 + y)

27

0

0

+ y³

3 + y

- 27

- 9·y

9 - 3·y + y²

0

- 9·y

9·y

+ 3·y²

0

+ 3·y²

+ y³

- 3·y²

- y³

0

0

Resultado (c):

27 + y³ = (3 + y)·(9 - 3·y + y²)

d.

x5 + 1/32 = x5 + ½5 → dividimos por (x + ½)

x5

0

0

0

0

+ 1/32

x + ½

- x5

- x4/2

x4 - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16

0

- x4/2

x4/2

+ x³/4

0

+ x³/4

- x³/4

- x²/8

0

- x²/8

x²/8

x/16

0

x/16

+ 1/32

- x/16

- 1/32

0

0

Resultado (d):

x5 + 1/32 = (x + ½)·(x4 - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16)

e.

x³ - 1/8 = x³ - ½³ → dividimos por (x - ½)

0

0

- 1/8

x - ½

- x³

+ x²/2

x² + x/2 + ¼

0

+ x²/2

- x²/2

+ x/4

0

+ x/4

- 1/8

- x/4

+ 1/8

0

0

Resultado (e):

x³ - 1/8 = (x - ½)·(x² + x/2 + ¼)

f.

a4 - b4·c4 = a4 - (b·c)4 → dividimos por (a - b·c) o por (a + b·c)

En éste caso podemos aplicar diferencia de cuadrados:

a4 - (b·c)4 = (a²)² - [(b·c)²]² = [a² - (b·c)²]·[a² + (b·c)²] = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]

Resultado (f):

a4 - b4·c4 = (a - b·c)·(a + b·c)·[a² + (b·c)²]

g.

x³ + 7 → No se puede factorear.

h.

a10 - x5 = (a²)5 - x5 → dividimos por (a² - x)

a10

0

0

0

0

- x5

a² - x

- a10

+ a8·x

a8 + a6·x + a4·x² + a²·x³ + x4

0

+ a8·x

- a8·x

+ a6·x²

0

+ a6·x²

- a6·x²

+ a4·x³

0

+ a4·x³

- a4·x³

+ a²·x4

0

+ a²·x4

- a²·x4

+ x5

0

0

Resultado (h):

a10 - x5 = (a² - x)·(a8 + a6·x + a4·x² + a²·x³ + x4)

i.

x6 - y6 → dividimos por (x - y) o por (x + y)

x6

0

0

0

0

0

- y6

x - y

- x6

+ x5·y

x5 + x4·y + x³·y² + x²·y³ + x·y4 + y5

0

+ x5·y

- x5·y

+ x4·y²

0

+ x4·y²

- x4·y²

+ x³·y³

0

+ x³·y³

- x³·y³

+ x²·y4

0

+ x²·y4

- x²·y4

+ x·y5

0

+ x·y5

- y6

- x·y5

+ y6

0

0

x6 - y6 = (x - y)·(x5 + x4·y + x³·y² + x²·y³ + x·y4 + y5)

En una segunda división, ahora por (x + y):

x5

+ x4·y

+ x³·y²

+ x²·y³

+ x·y4

+ y5

x + y

- x5

- x4·y

x4 + x²·y² + y4

0

0

+ x³·y²

+ x²·y³

- x³·y²

- x²·y³

0

0

+ x·y4

+ y5

- x·y4

- y5

0

0

Resultado (i):

x6 - y6 = (x - y)·(x + y)·(x4 + x²·y² + y4)

j.

x6 + y12 = (x²)³ + (y4)³ → dividimos por (x² + y4), (en la suma sólo se puede factorear si la potencia es impar).

+ x6

0

0

+ y12

x² + y4

- x6

- x4·y4

x4 - x²·y4 + y8

0

- x4·y4

+ x4·y4

+ x²·y8

0

+ x²·y8

- x²·y8

- y12

0

0

Resultado (j):

x6 + y12 = (x² + y4)·(x4 - x²·y4 + y8)

k.

a7 - 128·x7 = a7 - 27·x7 = a7 - (2·x)7 → dividimos por (a - 2·x)

+a7

0

0

0

0

0

0

-128·x7

a - 2·x

-a7

+ 2·x·a6

a6 + 2·x·a5 + 4·x²·a4 + 8·x³·a³ + 16·x4·a² + 32·x5·a + 64·x6

0

+2·x·a6

-2·x·a6

+4·x²·a5

0

+4·x²·a5

-4·x²·a5

+8·x³·a4

0

+8·x³·a4

-8·x³·a4

+16·x4·a³

0

+16·x4·a³

-16·x4·a³

+32·x5·a²

0

+32·x5·a²

-32·x5·a²

+64·x6·a

0

+64·x6·a

-64·x6·a

+128·x7

0

0

Resultado (k):

a7 - 128·x7 = (a - 2·x)·(a6 + 2·x·a5 + 4·x²·a4 + 8·x³·a³ + 16·x4·a² + 32·x5·a + 64·x6)

l.

x4 - 3 → No se puede factorear.

Problema n° 7) Factorear las siguientes expresiones:

  1. 5·x² - 10·x·y + 5·y²
  2. 3·x9·y7 - 12·x7·y9
  3. a³ - a² - a + 1

Solución

  1. 5·x² - 10·x·y + 5·y² = 5·(x² - 2·x·y + y²) = 5·(x - y)²
  2. 3·x9·y7 - 12·x7·y9 = 3·x7·y7·(x² - 4·y²) = 3·x7·y7·(x - 2·y)·(x + 2·y)
  3. a³ - a² - a + 1 = (a³ - a²) - (a - 1) = a²·(a - 1) - (a - 1) = (a² - 1)·(a - 1) = (a - 1)·(a + 1)·(a - 1) = (a - 1)²·(a + 1)

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