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Reducción o simplificación de expresiones algebraicas. Problema resuelto. Ejemplo, cómo factorizar expresiones algebraicas

Problema n° 9 de casos de factoreo

Problema n° 9

Reducir a su más simple expresión:

2·n·m + 10·n - 6·m - 30=
2·n³ - 54

Solución

Para proceder de forma ordenada y que se puedan observar los pasos comenzamos por extraer factor común "2" en numerador y denominador:

2·n·m + 10·n - 6·m - 30=2·(n·m + 5·n - 3·m - 15)=
2·n³ - 542·(n³ - 27)

Simplificamos:

2·(n·m + 5·n - 3·m - 15)=n·m + 5·n - 3·m - 15=
2·(n³ - 27)n³ - 27

El denominador es una diferencia de potencias de igual grado con exponente impar, por lo tanto es divisible por la diferencia de sus bases:

n·m + 5·n - 3·m - 15=n·m + 5·n - 3·m - 15=
n³ - 27n³ - 3³

Dividimos:

00-27n - 3
-n³+3·n²n² + 3·n + 9
0+3·n²0
-3·n²+9·n
0+9·n-27
-9·n+27
00

Así:

n³ - 27 = (n - 3)·(n² + 3·n + 9)

n·m + 5·n - 3·m - 15=n·m + 5·n - 3·m - 15=
n³ - 27(n - 3)·(n² + 3·n + 9)

En el numerador agrupamos los términos que tengan factor común m y "5":

n·m + 5·n - 3·m - 15=(n·m - 3·m) + (5·n - 15)=
(n - 3)·(n² + 3·n + 9)(n - 3)·(n² + 3·n + 9)

Luego extraemos factor común:

(n·m - 3·m) + (5·n - 15)=m·(n - 3) + 5·(n - 3)=
(n - 3)·(n² + 3·n + 9)(n - 3)·(n² + 3·n + 9)

A continuación extraemos factor común "n - 3":

m·(n - 3) + 5·(n - 3)=(m + 5)·(n - 3)=
(n - 3)·(n² + 3·n + 9)(n - 3)·(n² + 3·n + 9)

Simplificamos:

(m + 5)·(n - 3)=(m + 5)=
(n - 3)·(n² + 3·n + 9)(n² + 3·n + 9)

Resultado final:

2·n·m + 10·n - 6·m - 30=m + 5
2·n³ - 54n² + 3·n + 9

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