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Reducción o simplificación de expresiones algebraicas. Problema resuelto. Ejemplo, cómo factorizar expresiones algebraicas

Problema n° 10 de casos de factoreo

Problema n° 10

Reducir a su más simple expresión:

3·a³ + 24=
a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b

Solución

En el numerador extraemos factor común "3":

3·a³ + 24=3·(a³ + 8)=
a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·ba³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b

El numerador es una suma de potencias de igual grado con exponente impar, por lo tanto es divisible por la suma de sus bases:

Dividimos:

00+8a + 2
-a³-2·a²a² - 2·a + 4
0-2·a²0
+2·a²+4·a
0+4·a+8
-4·a-8
00

Así:

a³ + 8 = (a + 2)·(a² - 2·a + 4)

3·a³ + 24=3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4)=
a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·ba³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b

A continuación extraemos factor común en grupo en el denominador:

3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4)=3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4)=
a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·ba·(a² - 2·a + 4) - b·(a² - 2·a + 4)

Nuevamente extraemos factor común en grupos:

3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4)=3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4)=
a·(a² - 2·a + 4) - b·(a² - 2·a + 4)(a² - 2·a + 4)·(a - b)

Simplificamos:

3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4)=3·(a + 2)=
(a² - 2·a + 4)·(a - b)(a - b)

El resultado final es:

3·a³ + 24=3·(a + 2)
a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·ba - b·

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