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Problema n° 10 de casos de factoreo TP02

Factoreo: Reducción o simplificación de expresiones algebraicas. Problema resuelto. Ejemplo, cómo factorizar expresiones algebraicas

Problema n° 10 de casos de factoreo

Problema n° 10

Reducir a su más simple expresión:

3·a³ + 24

=

a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b

Solución

En el numerador extraemos factor común "3":

3·a³ + 24

=

3·(a³ + 8)

=

a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b

a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b

El numerador es una suma de potencias de igual grado con exponente impar, por lo tanto es divisible por la suma de sus bases:

Dividimos:

0

0

+8

a + 2

-a³

-2·a²

a² - 2·a + 4

0

-2·a²

0

+2·a²

+4·a

0

+4·a

+8

-4·a

-8

0

0

Así:

a³ + 8 = (a + 2)·(a² - 2·a + 4)

3·a³ + 24

=

3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4)

=

a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b

a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b

A continuación extraemos factor común en grupo en el denominador:

3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4)

=

3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4)

=

a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b

a·(a² - 2·a + 4) - b·(a² - 2·a + 4)

Nuevamente extraemos factor común en grupos:

3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4)

=

3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4)

=

a·(a² - 2·a + 4) - b·(a² - 2·a + 4)

(a² - 2·a + 4)·(a - b)

Simplificamos:

3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4)

=

3·(a + 2)

=

(a² - 2·a + 4)·(a - b)

(a - b)

El resultado final es:

3·a³ + 24

=

3·(a + 2)

a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b

a - b·

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