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Ejemplo, cómo factorizar y simplificar

Problema n° 3 de casos de factoreo

Enunciado del ejercicio n° 3

Reducir a su más simple expresión.

x³ - 27=
x4 - 81

Solución

Factorizamos los números enteros en factores primos:

x³ - 27=x³ - 3³
x4 - 81x4 - 34

En el numerador tenemos una diferencia de potencias de igual grado con exponente impar, es divisible por "x - 3".

En el denominador tenemos una diferencia de potencias de igual grado con exponente par, es divisible por "x + 3" y por "x - 3", inicialmente optamos por dividirlo por "x - 3".

Dividimos numerador y denominador por "x - 3":

00- 27x - 3
-x³+3·x²x² + 3·x + 9
0+3·x²
-3·x²+9·x
0+9·x-27
-9·x+27
00

x³ - 27 = (x - 3)·(x² + 3·x + 9)

x4000-81x - 3
-x4+3·x³x³ + 3·x² + 9·x + 27
0+3·x³
-3·x³+9·x²
0+9·x²  
-9·x²+27·x 
0+27·x-81
 -27·x+81
 00

x4 - 81 = (x - 3)·(x³ + 3·x² + 9·x + 27)

Reemplazamos:

x³ - 27=(x - 3)·(x² + 3·x + 9)
x4 - 81(x - 3)·(x³ + 3·x² + 9·x + 27)

Simplificamos:

x³ - 27=(x - 3)·(x² + 3·x + 9)
x4 - 81(x - 3)·(x³ + 3·x² + 9·x + 27)
x³ - 27=x² + 3·x + 9
x4 - 81x³ + 3·x² + 9·x + 27

Ahora dividimos el denominador por "x + 3":

+3·x²+9·x+27x + 3
-x³-3·x²x² + 9
00+9·x+27
 -9·x-27
00

x³ + 3·x² + 9·x + 27 = (x + 1)·(x² + 9)

Expresamos el resultado:

x³ - 27=x² + 3·x + 9
x4 - 81(x + 1)·(x² + 9)

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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