Problema n° 4 de casos de factoreo o factorización - TP06
Enunciado del ejercicio n° 4
Reducir a su más simple expresión.
| (a + 2)·(a³ - | a | )·(a² - 2·a + 4) | = | |||||||
| 4 | ||||||||||
| (a² - | a | )·(a | + | 1 | )·(a³ + 8) | |||||
| 2 | 2 | |||||||||
Solución
Del segundo binomio del numerador extraemos factor común "a" al igual que del primer binomio del denominador:
| (a + 2)·(a³ - | a | )·(a² - 2·a + 4) | = | (a + 2)·a·(a² - | 1 | )·(a² - 2·a + 4) | |||||||||||
| 4 | 4 | ||||||||||||||||
| (a² - | a | )·(a | + | 1 | )·(a³ + 8) | a·(a - | 1 | )·(a + | 1 | )·(a³ + 8) | |||||||
| 2 | 2 | 2 | 2 | ||||||||||||||
Simplificamos "a":
| (a + 2)·(a³ - | a | )·(a² - 2·a + 4) | = | (a + 2)·a·(a² - | 1 | )·(a² - 2·a + 4) | |||||||||||
| 4 | 4 | ||||||||||||||||
| (a² - | a | )·(a | + | 1 | )·(a³ + 8) | a·(a - | 1 | )·(a + | 1 | )·(a³ + 8) | |||||||
| 2 | 2 | 2 | 2 | ||||||||||||||
Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto del numerador:
| (a + 2)·(a³ - | a | )·(a² - 2·a + 4) | = | (a + 2)·(a² - | 1 | )·(a - 2)² | |||||||||
| 4 | 4 | ||||||||||||||
| (a² - | a | )·(a | + | 1 | )·(a³ + 8) | (a - | 1 | )·(a + | 1 | )·(a³ + 8) | |||||
| 2 | 2 | 2 | 2 | ||||||||||||
Los dos primeros binomios del denominador forman una diferencia de cuadrados:
| (a + 2)·(a³ - | a | )·(a² - 2·a + 4) | = | (a + 2)·(a² - | 1 | )·(a - 2)² | |||||||||||
| 4 | 4 | ||||||||||||||||
| (a² - | a | )·(a | + | 1 | )·(a³ + 8) | (a² - | 1 | )·(a³ + 8) | |||||||||
| 2 | 2 | 4 | |||||||||||||||
Simplificamos:
| (a + 2)·(a³ - | a | )·(a² - 2·a + 4) | = | ||||||||
| 4 | (a + 2)·(a - 2)² | ||||||||||
| (a² - | a | )·(a | + | 1 | )·(a³ + 8) | a³ + 2³ | |||||
| 2 | 2 | ||||||||||
En el denominador tenemos una diferencia suma de potencias de igual grado con exponente impar, es divisible por "a + 2". Dividimos:
| a³ | 0 | 0 | +8 | a + 2 |
| -a³ | -2·a² | a² - 2·a + 4 | ||
| 0 | -2·a² | |||
| +2·a² | +4·a | |||
| 0 | +4·a | +8 | ||
| -4·a | -8 | |||
| 0 | 0 |
a³ + 8 = (a + 2)·(a² - 2·a + 4)
| (a + 2)·(a³ - | a | )·(a² - 2·a + 4) | = | ||||||||
| 4 | (a + 2)·(a - 2)² | ||||||||||
| (a² - | a | )·(a | + | 1 | )·(a³ + 8) | (a + 2)·(a² - 2·a + 4) | |||||
| 2 | 2 | ||||||||||
Simplificamos:
| (a + 2)·(a³ - | a | )·(a² - 2·a + 4) | = | ||||||||
| 4 | (a + 2)·(a - 2)² | ||||||||||
| (a² - | a | )·(a | + | 1 | )·(a³ + 8) | (a + 2)·(a² - 2·a + 4) | |||||
| 2 | 2 | ||||||||||
Expresamos el resultado:
| (a + 2)·(a³ - | a | )·(a² - 2·a + 4) | = | ||||||||
| 4 | (a - 2)² | ||||||||||
| (a² - | a | )·(a | + | 1 | )·(a³ + 8) | a² - 2·a + 4 | |||||
| 2 | 2 | ||||||||||
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo factorizar y simplificar