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Ejemplo, cómo factorizar y simplificar

Problema n° 4 de casos de factoreo

Enunciado del ejercicio n° 4

Reducir a su más simple expresión.

(a + 2)·(a³ -a)·(a² - 2·a + 4)=
4
   (a² -a)·(a+1)·(a³ + 8) 
22

Solución

Del segundo binomio del numerador extraemos factor común "a" al igual que del primer binomio del denominador:

(a + 2)·(a³ -a)·(a² - 2·a + 4)=(a + 2)·a·(a² -1)·(a² - 2·a + 4)
44
   (a² -a)·(a+1)·(a³ + 8) a·(a -1)·(a +1)·(a³ + 8)  
2222

Simplificamos "a":

(a + 2)·(a³ -a)·(a² - 2·a + 4)=(a + 2)·a·(a² -1)·(a² - 2·a + 4)
44
   (a² -a)·(a+1)·(a³ + 8) a·(a -1)·(a +1)·(a³ + 8)  
2222

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto del numerador:

(a + 2)·(a³ -a)·(a² - 2·a + 4)=(a + 2)·(a² -1)·(a - 2)²
44
   (a² -a)·(a+1)·(a³ + 8) (a -1)·(a +1)·(a³ + 8)
2222

Los dos primeros binomios del denominador forman una diferencia de cuadrados:

(a + 2)·(a³ -a)·(a² - 2·a + 4)=(a + 2)·(a² -1)·(a - 2)²
44
   (a² -a)·(a+1)·(a³ + 8)     (a² -1)·(a³ + 8)
224

Simplificamos:

(a + 2)·(a³ -a)·(a² - 2·a + 4)= 
4(a + 2)·(a - 2)²
   (a² -a)·(a+1)·(a³ + 8) a³ + 2³
22 

En el denominador tenemos una diferencia suma de potencias de igual grado con exponente impar, es divisible por "a + 2". Dividimos:

00+8a + 2
-a³-2·a²a² - 2·a + 4
0-2·a²
+2·a²+4·a
0+4·a+8
-4·a-8
00

a³ + 8 = (a + 2)·(a² - 2·a + 4)

(a + 2)·(a³ -a)·(a² - 2·a + 4)= 
4(a + 2)·(a - 2)²
   (a² -a)·(a+1)·(a³ + 8) (a + 2)·(a² - 2·a + 4)
22 

Simplificamos:

(a + 2)·(a³ -a)·(a² - 2·a + 4)= 
4(a + 2)·(a - 2)²
   (a² -a)·(a+1)·(a³ + 8) (a + 2)·(a² - 2·a + 4)
22 

Expresamos el resultado:

(a + 2)·(a³ -a)·(a² - 2·a + 4)= 
4(a - 2)²
   (a² -a)·(a+1)·(a³ + 8) a² - 2·a + 4
22 

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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