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Ejemplo, cómo factorizar paso a paso

Problema n° 5 de casos de factoreo

Enunciado del ejercicio n° 5

Efectuar las siguientes operaciones de factorización (paso a paso):

 [2·x + 3-3·x - 16·x² - 6·y² 
{3·(x - y)x + y7·x - 11·y - 6}² =
  x² - x·y
   x² - 2·x·y + y² 

Solución

 [2·x + 3-3·x - 16·x² - 6·y² 
= {3·(x - y)x + y7·x - 11·y - 6}² =
  x² - x·y
   x² - 2·x·y + y² 

Restamos las fracciones indicadas, el denominador común es "3·(x - y)·(x + y)":

 (2·x + 3)·(x + y) - (3·x - 1)·3·(x - y)·6·x² - 6·y² 
= [3·(x - y)·(x + y)7·x - 11·y - 6]² =
  x² - x·y
   x² - 2·x·y + y² 

Desarrollamos los productos indicados:

(2·x + 3)·(x + y) - 3·(3·x - 1)·(x - y) = 2·x² + 2·x·y + 3·x + 3·y - 3·(3·x² - 3·x·y - x + y)

(2·x + 3)·(x + y) - 3·(3·x - 1)·(x - y) = 2·x² + 2·x·y + 3·x + 3·y - 9·x² + 9·x·y + 3·x - 3·y

(2·x + 3)·(x + y) - 3·(3·x - 1)·(x - y) = -7·x² + 11·x·y + 6·x

(2·x + 3)·(x + y) - 3·(3·x - 1)·(x - y) = -x·(7·x - 11·y - 6)

 -x·(7·x - 11·y - 6)·6·x² - 6·y² 
= [3·(x - y)·(x + y)7·x - 11·y - 6]² =
  x² - x·y
   x² - 2·x·y + y² 

Simplificamos:

 -x·(7·x - 11·y - 6)·6·x² - 6·y² 
= [3·(x - y)·(x + y)7·x - 11·y - 6]² =
  x² - x·y
   x² - 2·x·y + y² 
 -x·6·x² - 6·y² 
= [3·(x - y)·(x + y)1]² =
  x² - x·y
   x² - 2·x·y + y² 

En el numerador indicado extraemos factor común "6":

 -x·6·(x² - y²) 
= [3·(x - y)·(x + y)1]² =
  x² - x·y
   x² - 2·x·y + y² 

En el denominador indicado, el producto es una diferencia de cuadrados:

(x - y)·(x + y) = x² - y²

Simplificamos:

 -x·6·(x² - y²) 
= [3·x² - y²1]² =
  x² - x·y
   x² - 2·x·y + y² 
 -x·2 
= (11)² =
  x² - x·y
   x² - 2·x·y + y² 
 -2·x 
= (1)² =
x² - x·y
 x² - 2·x·y + y² 

Expresamos la división principal como un producto:

= (-2·x·x² - 2·x·y + y²)² =
1x² - x·y

El numerador indicado es un trinomio cuadrado perfecto:

x² - 2·x·y + y² = (x - y)²

= [-2·x·(x - y)²]² =
x² - x·y

En el denominador indicado extraemos factor común "x":

= [-2·x·(x - y)²]² =
x·(x - y)

Simplificamos:

= [-2·x·(x - y)2]² =
x·(x - y)

= [-2·(x - y)]² =

Aplicamos distributiva de la potencia con respecto al producto:

= (-2)²·(x - y)² = 4·(x - y)²

Expresamos el resultado:

 [2·x + 3-3·x - 16·x² - 6·y² 
{3·(x - y)x + y7·x - 11·y - 6}² = 4·(x - y)²
  x² - x·y
   x² - 2·x·y + y² 

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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