Problema n° 5 de casos de factoreo o factorización - TP08
Enunciado del ejercicio n° 5
Efectuar las siguientes operaciones de factorización (paso a paso):
| [ | 2·x + 3 | - | 3·x - 1 | ]· | 6·x² - 6·y² | ||
| { | 3·(x - y) | x + y | 7·x - 11·y - 6 | }² = | |||
| x² - x·y | |||||||
| x² - 2·x·y + y² | |||||||
Solución
| [ | 2·x + 3 | - | 3·x - 1 | ]· | 6·x² - 6·y² | ||
| = { | 3·(x - y) | x + y | 7·x - 11·y - 6 | }² = | |||
| x² - x·y | |||||||
| x² - 2·x·y + y² | |||||||
Restamos las fracciones indicadas, el denominador común es "3·(x - y)·(x + y)":
| (2·x + 3)·(x + y) - (3·x - 1)·3·(x - y) | · | 6·x² - 6·y² | ||
| = [ | 3·(x - y)·(x + y) | 7·x - 11·y - 6 | ]² = | |
| x² - x·y | ||||
| x² - 2·x·y + y² |
Desarrollamos los productos indicados:
(2·x + 3)·(x + y) - 3·(3·x - 1)·(x - y) = 2·x² + 2·x·y + 3·x + 3·y - 3·(3·x² - 3·x·y - x + y)
(2·x + 3)·(x + y) - 3·(3·x - 1)·(x - y) = 2·x² + 2·x·y + 3·x + 3·y - 9·x² + 9·x·y + 3·x - 3·y
(2·x + 3)·(x + y) - 3·(3·x - 1)·(x - y) = -7·x² + 11·x·y + 6·x
(2·x + 3)·(x + y) - 3·(3·x - 1)·(x - y) = -x·(7·x - 11·y - 6)
| -x·(7·x - 11·y - 6) | · | 6·x² - 6·y² | ||
| = [ | 3·(x - y)·(x + y) | 7·x - 11·y - 6 | ]² = | |
| x² - x·y | ||||
| x² - 2·x·y + y² |
Simplificamos:
| -x·(7·x - 11·y - 6) | · | 6·x² - 6·y² | ||
| = [ | 3·(x - y)·(x + y) | 7·x - 11·y - 6 | ]² = | |
| x² - x·y | ||||
| x² - 2·x·y + y² |
| -x | · | 6·x² - 6·y² | ||
| = [ | 3·(x - y)·(x + y) | 1 | ]² = | |
| x² - x·y | ||||
| x² - 2·x·y + y² |
En el numerador indicado extraemos factor común "6":
| -x | · | 6·(x² - y²) | ||
| = [ | 3·(x - y)·(x + y) | 1 | ]² = | |
| x² - x·y | ||||
| x² - 2·x·y + y² |
En el denominador indicado, el producto es una diferencia de cuadrados:
(x - y)·(x + y) = x² - y²
Simplificamos:
| -x | · | 6·(x² - y²) | ||
| = [ | 3·x² - y² | 1 | ]² = | |
| x² - x·y | ||||
| x² - 2·x·y + y² |
| -x | · | 2 | ||
| = ( | 1 | 1 | )² = | |
| x² - x·y | ||||
| x² - 2·x·y + y² |
| -2·x | ||
| = ( | 1 | )² = |
| x² - x·y | ||
| x² - 2·x·y + y² |
Expresamos la división principal como un producto:
| = ( | -2·x | · | x² - 2·x·y + y² | )² = |
| 1 | x² - x·y |
El numerador indicado es un trinomio cuadrado perfecto:
x² - 2·x·y + y² = (x - y)²
| = [ | -2·x· | (x - y)² | ]² = |
| x² - x·y |
En el denominador indicado extraemos factor común "x":
| = [ | -2·x· | (x - y)² | ]² = |
| x·(x - y) |
Simplificamos:
| = [ | -2·x· | (x - y)2 | ]² = |
| x·(x - y) |
= [-2·(x - y)]² =
Aplicamos distributiva de la potencia con respecto al producto:
= (-2)²·(x - y)² = 4·(x - y)²
Expresamos el resultado:
| [ | 2·x + 3 | - | 3·x - 1 | ]· | 6·x² - 6·y² | ||
| { | 3·(x - y) | x + y | 7·x - 11·y - 6 | }² = 4·(x - y)² | |||
| x² - x·y | |||||||
| x² - 2·x·y + y² | |||||||
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo factorizar paso a paso