Ejemplo, cómo factorizar paso a paso

Problema n° 6 de casos de factoreo o factorización - TP08

Enunciado del ejercicio n° 6

Efectuar las siguientes operaciones de factorización (paso a paso):

[(	5	-	x	-	2·x + 1	)·	x² + 4·x + 4	]² =
	3·x² - 12		x + 2		x - 2		45·x² + 45·x + 5

= [(	5	-	x	-	2·x + 1	)·	x² + 4·x + 4	]² =
	3·x² - 12		x + 2		x - 2		45·x² + 45·x + 5

El numerador indicado es un trinomio cuadrado perfecto:

x² + 4·x + 4 = (x + 2)²

= [(	5	-	x	-	2·x + 1	)·	(x + 2)²	]² =
	3·x² - 12		x + 2		x - 2		45·x² + 45·x + 5

En el denominador indicado extraemos factor común "5":

= [(	5	-	x	-	2·x + 1	)·	(x + 2)²	]² =
	3·x² - 12		x + 2		x - 2		5·(9·x² + 9·x + 1)

En el denominador indicado extraemos factor común "3":

= [(	5	-	x	-	2·x + 1	)·	(x + 2)²	]² =
	3·(x² - 4)		x + 2		x - 2		5·(9·x² + 9·x + 1)

En el denominador indicado, el producto es una diferencia de cuadrados:

(x² - 4) = x² - 2² = (x - 2)·(x + 2)

=[(	5	-	x	-	2·x + 1	)·	(x + 2)²	]²
	3·(x - 2)·(x + 2)		x + 2		x - 2		5·(9·x² + 9·x + 1)

Sumamos las fracciones, el denominador común es "3·(x - 2)·(x + 2)":

[	5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1)	·	(x + 2)²	]²
	3·(x - 2)·(x + 2)		5·(9·x² + 9·x + 1)

Desarrollamos denominador indicado:

5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1) = 5 - 3·(x² - 2·x) - 3·(2·x² + x + 4·x + 2)

5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1) = 5 - 3·x² + 6·x - 6·x² - 15·x - 6

5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1) = -9·x² - 9·x - 1

5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1) = -(9·x² + 9·x + 1)

= [	-(9·x² + 9·x + 1)	·	(x + 2)²	]² =
	3·(x - 2)·(x + 2)		5·(9·x² + 9·x + 1)

Simplificamos:

= [	-(9·x² + 9·x + 1)	·	(x + 2)²	]² =
	3·(x - 2)·(x + 2)		5·(9·x² + 9·x + 1)

= [	-1	·	x + 2	]² =
	3·(x - 2)		5

= [	-(x + 2)	]² =
	3·(x - 2)·5

= [	-(x + 2)	]² =
	15·(x - 2)

Aplicamos distributiva de la potencia con respecto al producto:

=	[-(x + 2)]²	=
	15²·(x - 2)²

=	(x + 2)²
	225·(x - 2)²

Expresamos el resultado:

[(	5	-	x	-	2·x + 1	)·	x² + 4·x + 4	]² =	(x + 2)²
	3·x² - 12		x + 2		x - 2		45·x² + 45·x + 5		225·(x - 2)²

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.