Problema n° 6 de casos de factoreo o factorización - TP08
Enunciado del ejercicio n° 6
Efectuar las siguientes operaciones de factorización (paso a paso):
| [( | 5 | - | x | - | 2·x + 1 | )· | x² + 4·x + 4 | ]² = |
| 3·x² - 12 | x + 2 | x - 2 | 45·x² + 45·x + 5 |
Solución
| = [( | 5 | - | x | - | 2·x + 1 | )· | x² + 4·x + 4 | ]² = |
| 3·x² - 12 | x + 2 | x - 2 | 45·x² + 45·x + 5 |
El numerador indicado es un trinomio cuadrado perfecto:
x² + 4·x + 4 = (x + 2)²
| = [( | 5 | - | x | - | 2·x + 1 | )· | (x + 2)² | ]² = |
| 3·x² - 12 | x + 2 | x - 2 | 45·x² + 45·x + 5 |
En el denominador indicado extraemos factor común "5":
| = [( | 5 | - | x | - | 2·x + 1 | )· | (x + 2)² | ]² = |
| 3·x² - 12 | x + 2 | x - 2 | 5·(9·x² + 9·x + 1) |
En el denominador indicado extraemos factor común "3":
| = [( | 5 | - | x | - | 2·x + 1 | )· | (x + 2)² | ]² = |
| 3·(x² - 4) | x + 2 | x - 2 | 5·(9·x² + 9·x + 1) |
En el denominador indicado, el producto es una diferencia de cuadrados:
(x² - 4) = x² - 2² = (x - 2)·(x + 2)
| =[( | 5 | - | x | - | 2·x + 1 | )· | (x + 2)² | ]² |
| 3·(x - 2)·(x + 2) | x + 2 | x - 2 | 5·(9·x² + 9·x + 1) |
Sumamos las fracciones, el denominador común es "3·(x - 2)·(x + 2)":
| [ | 5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1) | · | (x + 2)² | ]² |
| 3·(x - 2)·(x + 2) | 5·(9·x² + 9·x + 1) |
Desarrollamos denominador indicado:
5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1) = 5 - 3·(x² - 2·x) - 3·(2·x² + x + 4·x + 2)
5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1) = 5 - 3·x² + 6·x - 6·x² - 15·x - 6
5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1) = -9·x² - 9·x - 1
5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1) = -(9·x² + 9·x + 1)
| = [ | -(9·x² + 9·x + 1) | · | (x + 2)² | ]² = |
| 3·(x - 2)·(x + 2) | 5·(9·x² + 9·x + 1) |
Simplificamos:
| = [ | -(9·x² + 9·x + 1) | · | (x + 2)2 | ]² = |
| 3·(x - 2)·(x + 2) | 5·(9·x² + 9·x + 1) |
| = [ | -1 | · | x + 2 | ]² = |
| 3·(x - 2) | 5 |
| = [ | -(x + 2) | ]² = |
| 3·(x - 2)·5 |
| = [ | -(x + 2) | ]² = |
| 15·(x - 2) |
Aplicamos distributiva de la potencia con respecto al producto:
| = | [-(x + 2)]² | = |
| 15²·(x - 2)² |
| = | (x + 2)² |
| 225·(x - 2)² |
Expresamos el resultado:
| [( | 5 | - | x | - | 2·x + 1 | )· | x² + 4·x + 4 | ]² = | (x + 2)² |
| 3·x² - 12 | x + 2 | x - 2 | 45·x² + 45·x + 5 | 225·(x - 2)² |
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo factorizar paso a paso