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Ejemplo, cómo factorizar paso a paso

Problema n° 6 de casos de factoreo o factorización - TP08

Enunciado del ejercicio n° 6

Efectuar las siguientes operaciones de factorización (paso a paso):

[(5-x-2·x + 1x² + 4·x + 4]² =
3·x² - 12x + 2x - 245·x² + 45·x + 5

Solución

= [(5-x-2·x + 1x² + 4·x + 4]² =
3·x² - 12x + 2x - 245·x² + 45·x + 5

El numerador indicado es un trinomio cuadrado perfecto:

x² + 4·x + 4 = (x + 2)²

= [(5-x-2·x + 1(x + 2)²]² =
3·x² - 12x + 2x - 245·x² + 45·x + 5

En el denominador indicado extraemos factor común "5":

= [(5-x-2·x + 1(x + 2)²]² =
3·x² - 12x + 2x - 25·(9·x² + 9·x + 1)

En el denominador indicado extraemos factor común "3":

= [(5-x-2·x + 1(x + 2)²]² =
3·(x² - 4)x + 2x - 25·(9·x² + 9·x + 1)

En el denominador indicado, el producto es una diferencia de cuadrados:

(x² - 4) = x² - 2² = (x - 2)·(x + 2)

=[(5-x-2·x + 1(x + 2)²
3·(x - 2)·(x + 2)x + 2x - 25·(9·x² + 9·x + 1)

Sumamos las fracciones, el denominador común es "3·(x - 2)·(x + 2)":

[5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1)·(x + 2)²
3·(x - 2)·(x + 2)5·(9·x² + 9·x + 1)

Desarrollamos denominador indicado:

5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1) = 5 - 3·(x² - 2·x) - 3·(2·x² + x + 4·x + 2)

5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1) = 5 - 3·x² + 6·x - 6·x² - 15·x - 6

5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1) = -9·x² - 9·x - 1

5 - 3·(x - 2)·x - 3·(x + 2)·(2·x + 1) = -(9·x² + 9·x + 1)

= [-(9·x² + 9·x + 1)·(x + 2)²]² =
3·(x - 2)·(x + 2)5·(9·x² + 9·x + 1)

Simplificamos:

= [-(9·x² + 9·x + 1)·(x + 2)2]² =
3·(x - 2)·(x + 2)(9·x² + 9·x + 1)
= [-1·x + 2]² =
3·(x - 2)5
= [-(x + 2)]² =
3·(x - 2)·5
= [-(x + 2)]² =
15·(x - 2)

Aplicamos distributiva de la potencia con respecto al producto:

=[-(x + 2)]²=
15²·(x - 2)²
=(x + 2)²
225·(x - 2)²

Expresamos el resultado:

[(5-x-2·x + 1x² + 4·x + 4]² =(x + 2)²
3·x² - 12x + 2x - 245·x² + 45·x + 5225·(x - 2)²

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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