Ejemplo, cómo factorizar paso a paso

Problema n° 7 de casos de factoreo o factorización - TP08

Enunciado del ejercicio n° 7

Efectuar las siguientes operaciones de factorización (paso a paso):

(-	1	+	1 + x	)·[	2·(1 - x)²	+	(x - 1)³	]²
	1 - x²		1 - x		x² + 4·x + 4		(x + 2)²		=
					x
					4 - x²

Solución

El denominador indicado es un trinomio cuadrado perfecto:

x² + 4·x + 4 = (x + 2)²

	(-	1	+	1 + x	)·[	2·(1 - x)²	+	(x - 1)³	]²
=		1 - x²		1 - x		x² + 4·x + 4		(x + 2)²		=
						x
						4 - x²

Los denominadores de las fracciones indicadas son iguales, sumamos dichas fracciones:

	(-	1	+	1 + x	)·[	2·(1 - x)²	+	(x - 1)³	]²
=		1 - x²		1 - x		(x + 2)²		(x + 2)²		=
						x
						4 - x²

El denominador indicado es una diferencia de cuadrados:

1 - x² = (1 - x)·(1 + x)

	(-	1	+	1 + x	)·[	2·(1 - x)² + (x - 1)³	]²
=		1 - x²		1 - x		(x + 2)²		=
				x
				4 - x²

	(-	1	+	1 + x	)·[	2·(1 - x)² + (x - 1)³	]²
=		(1 - x)·(1 + x)		1 - x		(x + 2)²		=
				x
				4 - x²

Sumamos las fracciones indicadas, el denominador común es "(1 - x)·(1 + x)":

	-1 + (1 + x)·(1 + x)	·[	2·(1 - x)² + (x - 1)³	]²
=	(1 - x)·(1 + x)	·[	(x + 2)²	]²	=
=			x		=
			4 - x²

El denominador indicado es una diferencia de cuadrados:

4 - x² = (2 - x)·(2 + x)

	-1 + (1 + x)²	·[	2·(1 - x)² + (x - 1)³	]²
=	(1 - x)·(1 + x)	·[	(x + 2)²	]²	=
=			x		=
			4 - x²

	-1 + (1 + x)²	·[	2·(1 - x)² + (x - 1)³	]²
=	(1 - x)·(1 + x)	·[	(x + 2)²	]²	=
=			x		=
			(2 - x)·(2 + x)

Desarrollamos el numerador indicado:

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = 2·(1 - 2·x + x²) + (x³ - 3·x² + 3·x - 1)

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = 2 - 2·2·x + 2·x² + x³ - 3·x² + 3·x - 1

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = 1 - 4·x + x³ - x² + 3·x

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = x³ - x² - x + 1

El numerador es divisible por x - 1, realizamos la división:

x³	-x²	-x	+1	x - 1
-x³	+x²			x² - 1
0	0	-x	+1
		+x	-1
		0	0

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = (x - 1)·(x² - 1)

Aquí tenemos otra diferencia de cuadrados:

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = (x - 1)·(x - 1)·(x + 1)

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = (x - 1)²·(x + 1)

	-1 + (1 + x)²	·[	(x - 1)²·(x + 1)	]²
=	(1 - x)·(1 + x)	·[	(x + 2)²	]²	=
=			x		=
			(2 - x)·(2 + x)

Desarrollamos el binomio al cuadrado indicado:

-1 + (1 + x)² = -1 + 1 + 2·x + x²

-1 + (1 + x)² = x² + 2·x

-1 + (1 + x)² = x·(x + 2)

	x·(x + 2)	·[	(x - 1)²·(x + 1)	]²
=	(1 - x)·(1 + x)	·[	(x + 2)²	]²	=
=			x		=
			(2 - x)·(2 + x)

Aplicamos distributiva de la potencia con respecto al producto:

	x·(x + 2)	·[	(x - 1)²·(x + 1)	]²
=	(1 - x)·(1 + x)	·[	(x + 2)²	]²	=
=			x		=
			(2 - x)·(2 + x)

	x·(x + 2)	·	[(x - 1)²]²·(x + 1)²
=	(1 - x)·(1 + x)	·	[(x + 2)²]²	=
=			x	=
			(2 - x)·(2 + x)

	x·(x + 2)	·	(x - 1)⁴·(x + 1)²
=	(1 - x)·(1 + x)	·	(x + 2)⁴	=
=			x	=
			(2 - x)·(2 + x)

Simplificamos:

	x·(x + 2)	·	(x - 1)⁴·(x + 1)²
=	(1 - x)·(1 + x)	·	(x + 2)³	=
=			x	=
			2 - x

Simplificamos:

	x·(x + 2)	·	(x - 1)⁴·(x + 1)²
=	(1 - x)·(1 + x)	·	(x + 2)³	=
=			x	=
			2 - x

	x	·	(x - 1)⁴·(x + 1)²
=	(1 - x)·(1 + x)	·	(x + 2)²	=
=			x	=
			2 - x

Simplificamos:

	x	·	(x - 1)⁴·(x + 1)²
=	(1 - x)·(1 + x)	·	(x + 2)²	=
=			x	=
			2 - x

	x	·	(x - 1)⁴·(x + 1)
=	1 - x	·	(x + 2)²	=
=			x	=
			2 - x

En el denominador indicado extraemos factor común "-1":

	x	·	(x - 1)⁴·(x + 1)
=	1 - x	·	(x + 2)²	=
=			x	=
			2 - x

	x	·	(x - 1)⁴·(x + 1)
=	-1·(x - 1)	·	(x + 2)²	=
=			x	=
			2 - x

Simplificamos:

	x	·	(x - 1)³·(x + 1)
=	-1	·	(x + 2)²	=
=			x	=
			2 - x

	-x·	(x - 1)³·(x + 1)
=	-x·	(x + 2)²	=
=		x	=
		2 - x

Expresamos la división principal como un producto:

=	-x·(x - 1)³·(x + 1)	·	2 - x	=
	(x + 2)²		x

Simplificamos:

=	-x·(x - 1)³·(x + 1)	·	2 - x	=
	(x + 2)²		x

=	-(x - 1)³·(x + 1)	·	2 - x	=
	(x + 2)²		1

En el denominador indicado extraemos factor común "-1":

=	-(x - 1)³·(x + 1)	·	-1·(x - 2)	=
	(x + 2)²		1

(-) por (-) = (+)

=	(x - 1)³·(x + 1)·(x - 2)
	(x + 2)²

Expresamos el resultado:

(-	1	+	1 + x	)·[	2·(1 - x)²	+	(x - 1)³	]²
	1 - x²		1 - x		x² + 4·x + 4		(x + 2)²		=	(x - 1)³·(x + 1)·(x - 2)
					x					(x + 2)²
					4 - x²

Verificar si desarrollando el numerador y el denominador se puede simplificar más el resultado.

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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