Enunciado del ejercicio nº 7

Efectuar las siguientes operaciones de factorización (paso a paso):

Solución

El siguiente denominador es un trinomio cuadrado perfecto, lo reemplazamos:

x² + 4·x + 4 = (x + 2)²

Sumamos las fracciones donde los denominadores son iguales:

El siguiente denominador es una diferencia de cuadrados, lo reemplazamos:

1 - x² = (1 - x)·(1 + x)

Sumamos las fracciones restantes, el denominador común es "(1 - x)·(1 + x)":

El siguiente denominador es una diferencia de cuadrados, lo reemplazamos:

4 - x² = (2 - x)·(2 + x)

Desarrollamos el numerador indicado:

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = 2·(1 - 2·x + x²) + (x³ - 3·x² + 3·x - 1)

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = 2 - 2·2·x + 2·x² + x³ - 3·x² + 3·x - 1

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = 1 - 4·x + x³ - x² + 3·x

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = x³ - x² - x + 1

El numerador es divisible por x - 1, realizamos la división:

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = (x - 1)·(x² - 1)

Aquí tenemos otra diferencia de cuadrados (quinto caso de factorización):

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = (x - 1)·(x - 1)·(x + 1)

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = (x - 1)²·(x + 1)

Desarrollamos el binomio al cuadrado del primer numerador:

-1 + (1 + x)² = -1 + 1 + 2·x + x²

-1 + (1 + x)² = x² + 2·x

-1 + (1 + x)² = x·(x + 2)

Aplicamos distributiva de la potencia con respecto al producto:

Expresamos la división principal como un producto:

Simplificamos:

Expresamos el resultado:

Verificar si desarrollando el numerador y el denominador se puede simplificar más el resultado.

Resolvió: . Argentina