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Ejemplo, cómo factorizar paso a paso

Problema n° 7 de casos de factoreo

Enunciado del ejercicio n° 7

Efectuar las siguientes operaciones de factorización (paso a paso):

(-1+1 + x)·[2·(1 - x)²+(x - 1)³ 
1 - x²1 - xx² + 4·x + 4(x + 2)²=
 x 
 4 - x²  

Solución

El denominador indicado es un trinomio cuadrado perfecto:

x² + 4·x + 4 = (x + 2)²

 (-1+1 + x)·[2·(1 - x)²+(x - 1)³ 
=1 - x²1 - xx² + 4·x + 4(x + 2)²=
 x 
  4 - x²  

Los denominadores de las fracciones indicadas son iguales, sumamos dichas fracciones:

 (-1+1 + x)·[2·(1 - x)²+(x - 1)³ 
=1 - x²1 - x(x + 2)²(x + 2)²=
 x 
  4 - x²  

El denominador indicado es una diferencia de cuadrados:

1 - x² = (1 - x)·(1 + x)

 (-1+1 + x)·[2·(1 - x)² + (x - 1)³ 
=1 - x²1 - x(x + 2)²=
 x 
  4 - x²  
 (-1+1 + x)·[2·(1 - x)² + (x - 1)³ 
=(1 - x)·(1 + x)1 - x(x + 2)²=
 x 
  4 - x²  

Sumamos las fracciones indicadas, el denominador común es "(1 - x)·(1 + x)":

 -1 + (1 + x)·(1 + x)·[2·(1 - x)² + (x - 1)³ 
=(1 - x)·(1 + x)(x + 2)²=
  x 
   4 - x²  

El denominador indicado es una diferencia de cuadrados:

4 - x² = (2 - x)·(2 + x)

 -1 + (1 + x)²·[2·(1 - x)² + (x - 1)³ 
=(1 - x)·(1 + x)(x + 2)²=
  x 
   4 - x²  
 -1 + (1 + x)²·[2·(1 - x)² + (x - 1)³ 
=(1 - x)·(1 + x)(x + 2)²=
  x 
   (2 - x)·(2 + x)  

Desarrollamos el numerador indicado:

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = 2·(1 - 2·x + x²) + (x³ - 3·x² + 3·x - 1)

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = 2 - 2·2·x + 2·x² + x³ - 3·x² + 3·x - 1

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = 1 - 4·x + x³ - x² + 3·x

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = x³ - x² - x + 1

El numerador es divisible por x - 1, realizamos la división:

-x²-x+1x - 1
-x³+x²x² - 1
00-x+1
+x-1
00

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = (x - 1)·(x² - 1)

Aquí tenemos otra diferencia de cuadrados:

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = (x - 1)·(x - 1)·(x + 1)

2·(1 - x)² + (x - 1)³ = (x - 1)²·(x + 1)

 -1 + (1 + x)²·[(x - 1)²·(x + 1) 
=(1 - x)·(1 + x)(x + 2)²=
  x 
   (2 - x)·(2 + x)  

Desarrollamos el binomio al cuadrado indicado:

-1 + (1 + x)² = -1 + 1 + 2·x + x²

-1 + (1 + x)² = x² + 2·x

-1 + (1 + x)² = x·(x + 2)

 x·(x + 2)·[(x - 1)²·(x + 1) 
=(1 - x)·(1 + x)(x + 2)²=
  x 
   (2 - x)·(2 + x)  

Aplicamos distributiva de la potencia con respecto al producto:

 x·(x + 2)·[(x - 1)²·(x + 1) 
=(1 - x)·(1 + x)(x + 2)²=
  x 
   (2 - x)·(2 + x)  
 x·(x + 2)·[(x - 1)²]²·(x + 1)² 
=(1 - x)·(1 + x)[(x + 2)²]²=
  x
   (2 - x)·(2 + x) 
 x·(x + 2)·(x - 1)4·(x + 1)² 
=(1 - x)·(1 + x)(x + 2)4=
  x
   (2 - x)·(2 + x) 

Simplificamos:

 x·(x + 2)·(x - 1)4·(x + 1)² 
=(1 - x)·(1 + x)(x + 2)³=
  x
   2 - x 

Simplificamos:

 (x + 2)·(x - 1)4·(x + 1)² 
=(1 - x)·(1 + x)(x + 2)3=
  x
   2 - x 
 x·(x - 1)4·(x + 1)² 
=(1 - x)·(1 + x)(x + 2)²=
  x
   2 - x 

Simplificamos:

 x·(x - 1)4·(x + 1)2 
=(1 - x)·(1 + x)(x + 2)²=
  x
   2 - x 
 x·(x - 1)4·(x + 1) 
=1 - x(x + 2)²=
  x
   2 - x 

En el denominador indicado extraemos factor común "-1":

 x·(x - 1)4·(x + 1) 
=1 - x(x + 2)²=
  x
   2 - x 
 x·(x - 1)4·(x + 1) 
=-1·(x - 1)(x + 2)²=
  x
   2 - x 

Simplificamos:

 x·(x - 1)³·(x + 1) 
=-1(x + 2)²=
  x
   2 - x 
 -x·(x - 1)³·(x + 1) 
=(x + 2)²=
 x
  2 - x 

Expresamos la división principal como un producto:

=-x·(x - 1)³·(x + 1)·2 - x=
(x + 2)²x

Simplificamos:

=-x·(x - 1)³·(x + 1)·2 - x=
(x + 2)²x
=-(x - 1)³·(x + 1)·2 - x=
(x + 2)²1

En el denominador indicado extraemos factor común "-1":

=-(x - 1)³·(x + 1)·-1·(x - 2)=
(x + 2)²1

(-) por (-) = (+)

=(x - 1)³·(x + 1)·(x - 2)
(x + 2)²

Expresamos el resultado:

(-1+1 + x)·[2·(1 - x)²+(x - 1)³  
1 - x²1 - xx² + 4·x + 4(x + 2)²=(x - 1)³·(x + 1)·(x - 2)
 x (x + 2)²
 4 - x²   

Verificar si desarrollando el numerador y el denominador se puede simplificar más el resultado.

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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