Problema nº 7 de casos de factoreo o factorización, factorizar paso a paso
Enunciado del ejercicio nº 7
Efectuar las siguientes operaciones de factorización (paso a paso):
Solución
El siguiente denominador es un trinomio cuadrado perfecto, lo reemplazamos:
x² + 4·x + 4 = (x + 2)²
Sumamos las fracciones donde los denominadores son iguales:
El siguiente denominador es una diferencia de cuadrados, lo reemplazamos:
1 - x² = (1 - x)·(1 + x)
Sumamos las fracciones restantes, el denominador común es "(1 - x)·(1 + x)":
El siguiente denominador es una diferencia de cuadrados, lo reemplazamos:
4 - x² = (2 - x)·(2 + x)
Desarrollamos el numerador indicado:
2·(1 - x)² + (x - 1)³ = 2·(1 - 2·x + x²) + (x³ - 3·x² + 3·x - 1)
2·(1 - x)² + (x - 1)³ = 2 - 2·2·x + 2·x² + x³ - 3·x² + 3·x - 1
2·(1 - x)² + (x - 1)³ = 1 - 4·x + x³ - x² + 3·x
2·(1 - x)² + (x - 1)³ = x³ - x² - x + 1
El numerador es divisible por x - 1, realizamos la división:
2·(1 - x)² + (x - 1)³ = (x - 1)·(x² - 1)
Aquí tenemos otra diferencia de cuadrados (quinto caso de factorización):
2·(1 - x)² + (x - 1)³ = (x - 1)·(x - 1)·(x + 1)
2·(1 - x)² + (x - 1)³ = (x - 1)²·(x + 1)
Desarrollamos el binomio al cuadrado del primer numerador:
-1 + (1 + x)² = -1 + 1 + 2·x + x²
-1 + (1 + x)² = x² + 2·x
-1 + (1 + x)² = x·(x + 2)
Aplicamos distributiva de la potencia con respecto al producto:
Expresamos la división principal como un producto:
Simplificamos:
Expresamos el resultado:
Verificar si desarrollando el numerador y el denominador se puede simplificar más el resultado.
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo factorizar paso a paso