Problema n° 5 de funciones exponenciales - TP03

Enunciado del ejercicio n° 5

Resolver las siguientes ecuaciones:

a) ^{(1 + x)}√4 = 2^x

b) 2^{(x - 1)} = 2^x

c) 5^{(x + 1)} + 5^x = 750

d) (	9	)^{(x + 1)}·(	8	)^{(x - 1)} =	2
	4		27		3

Solución

a)

^{(1 + x)}√4 = 2^x

2^{2/(1 + x)} = 2^x

Las bases son iguales, operamos con los exponentes:

2	= x
1 + x

2 = x·(1 + x)

2 = x² + x

x² + x - 2 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = 1

c = -2

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-1 ± √1² - 4·1·(-2)
	2·1

x_1,2 =	-1 ± √1 + 8
	2

x_1,2 =	-1 ± √9
	2

x_1,2 =	-1 ± 3
	2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x₁ =	-1 + 3
	2

x₁ =	2
	2

x₁ = 1

x₂ =	-1 - 3
	2

x₂ =	-4
	2

x₂ = -2

Resultado:

x₁ = 1

x₂ = -2

2^{(x - 1)} = 2^x

Las bases son iguales, operamos con los exponentes:

x - 1 ≠ x

No tiene solución.

5^{(x + 1)} + 5^x = 750

Aplicamos las propiedades de la potenciación:

5^x·5¹ + 5^x = 6·5³

Extraemos factor común 5^x:

5^x·(5 + 1) = 6·5³

Cancelamos:

5^x·6 = 6·5³

5^x = 5³

Las bases son iguales, operamos con los exponentes:

x = 3

Resultado:

x = 3

(	9	)^{(x + 1)}·(	8	)^{(x - 1)} =	2
	4		27		3

Aplicamos las propiedades de la potenciación:

(	3	)^{2·(x + 1)}·(	2	)^{3·(x - 1)} =	2
	2		3		3

(	2	)^{-2·(x + 1)}·(	2	)^{3·(x - 1)} =	2
	3		3		3

(	2	)^{[-2·(x + 1) + 3·(x - 1)]} =	2
	3		3

Las bases son iguales, operamos con los exponentes:

-2·(x + 1) + 3·(x - 1) = 1

Desarrollamos los productos:

-2·x - 2 + 3·x - 3 = 1

Despejamos "x":

x - 5 = 1

x = 1 + 5

Resultado:

x = 6

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina