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Ejemplo, operaciones con logaritmos

Problema n° 4 de funciones logarítmicas

Enunciado del ejercicio n° 4

Resolver la ecuación:

log2 (x - 3) + log2 (x - 2) = 1.

Solución

Aplicamos la propiedad inversa del logaritmo de un producto:

log2 (x - 3) + log2 (x - 2) = 1

log2 (x - 3)·(x - 2) = 1

Por definición de logaritmo:

loga n = x ⇔ ax = n

log2 (x - 3)·(x - 2) = 1 ⇔ (x - 3)·(x - 2) = 2¹

(x - 3)·(x - 2) = 2

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:

x² - 2·x - 3·x + 6 = 2

Igualamos a cero:

x² - 5·x + 6 - 2 = 0

x² - 5·x + 4 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = -5

c = 4

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-(-5) ± (-5)² - 4·1·4
2·1
x1,2 =5 ± 25 - 16
2
x1,2 =5 ± 9
2
x1,2 =5 ± 3
2

x1 = 4

x2 = 1

Verificamos reemplazando los valores de "x" en la ecuación dada:

Para x1 = 4

log2 (4 - 3) + log2 (4 - 2) = 1

log2 1 + log2 2 = 1

0 + 1 = 1

Para x2 = 1

log2 (1 - 3) + log2 (1 - 2) = 1

log2 -2 + log2 -1 = 1

No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo.

x2 = 1 no es solución

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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