Ejemplo, operaciones con logaritmos
Problema n° 4 de funciones logarítmicas - TP04
Enunciado del ejercicio n° 4
Resolver la ecuación:
log2 (x - 3) + log2 (x - 2) = 1.
Solución
Aplicamos la propiedad inversa del logaritmo de un producto:
log2 (x - 3) + log2 (x - 2) = 1
log2 (x - 3)·(x - 2) = 1
Por definición de logaritmo:
loga n = x ⇔ ax = n
log2 (x - 3)·(x - 2) = 1 ⇔ (x - 3)·(x - 2) = 2¹
(x - 3)·(x - 2) = 2
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:
x² - 2·x - 3·x + 6 = 2
Igualamos a cero:
x² - 5·x + 6 - 2 = 0
x² - 5·x + 4 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
2·a |
Siendo:
a = 1
b = -5
c = 4
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
x1,2 = | -(-5) ± √(-5)² - 4·1·4 |
2·1 |
x1,2 = | 5 ± √25 - 16 |
2 |
x1,2 = | 5 ± √9 |
2 |
x1,2 = | 5 ± 3 |
2 |
x1 = 4
x2 = 1
Verificamos reemplazando los valores de "x" en la ecuación dada:
Para x1 = 4
log2 (4 - 3) + log2 (4 - 2) = 1
log2 1 + log2 2 = 1
0 + 1 = 1
Para x2 = 1
log2 (1 - 3) + log2 (1 - 2) = 1
log2 -2 + log2 -1 = 1
No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo.
x2 = 1 no es solución
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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