Ejemplo, operaciones con logaritmos

Problema n° 4 de funciones logarítmicas - TP04

Enunciado del ejercicio n° 4

Resolver la ecuación:

log₂ (x - 3) + log₂ (x - 2) = 1.

Aplicamos la propiedad inversa del logaritmo de un producto:

log₂ (x - 3) + log₂ (x - 2) = 1

log₂ (x - 3)·(x - 2) = 1

Por definición de logaritmo:

log_a n = x ⇔ a^x = n

log₂ (x - 3)·(x - 2) = 1 ⇔ (x - 3)·(x - 2) = 2¹

(x - 3)·(x - 2) = 2

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:

x² - 2·x - 3·x + 6 = 2

Igualamos a cero:

x² - 5·x + 6 - 2 = 0

x² - 5·x + 4 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = -5

c = 4

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-(-5) ± √(-5)² - 4·1·4
	2·1

x_1,2 =	5 ± √25 - 16
	2

x_1,2 =	5 ± √9
	2

x_1,2 =	5 ± 3
	2

x₁ = 4

x₂ = 1

Verificamos reemplazando los valores de "x" en la ecuación dada:

Para x₁ = 4

log₂ (4 - 3) + log₂ (4 - 2) = 1

log₂ 1 + log₂ 2 = 1

0 + 1 = 1

Para x₂ = 1

log₂ (1 - 3) + log₂ (1 - 2) = 1

log₂ -2 + log₂ -1 = 1

No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo.

x₂ = 1 no es solución

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.