Problema n° 7-e de funciones logarítmicas, operaciones con logaritmos - TP04
Enunciado del ejercicio n° 7-e
Resolver la siguiente ecuación:
log₂ x - | 3 | ·log₈ (x + 1) = 2 |
2 |
Solución
log₂ x - | 3 | ·log₈ (x + 1) = 2 |
2 |
Cambiamos la base del logaritmo:
logb x = | logₐ x |
logₐ b |
log₈ (x + 1) = | log₂ (x + 1) |
log₂ 8 |
Reemplazamos:
log₂ x - | 3 | · | log₂ (x + 1) | = 2 |
2 | log₂ 8 |
Pero:
log₂ 8 = 3
log₂ x - | 3 | · | log₂ (x + 1) | = 2 |
2 | 3 |
log₂ x - | 1 | · | log₂ (x + 1) | = 2 |
2 | 1 |
log₂ x - | 1 | ·log₂ (x + 1) = 2 |
2 |
log₂ x - log₂ (x + 1)½ = 2
Aplicamos la propiedad inversa del logaritmo de un producto:
log₂ | x | = 2 |
(x + 1)½ |
Por definición de logaritmo:
logₐ n = x ⇔ aˣ = n
log₂ | x | = 2 ⇔ 2² = | x |
(x + 1)½ | (x + 1)½ |
2² = | x |
(x + 1)½ |
4 = | x |
(x + 1)½ |
(x + 1)½ = | x |
4 |
x + 1 = | x² |
4² |
16·(x + 1) = x²
16·x + 16 = x²
Igualamos a cero:
x² - 16·x - 16 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
2·a |
Siendo:
a = 1
b = -16
c = -16
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
x1,2 = | -(-16) ± √(-16)² - 4·1·(-16) |
2·1 |
x1,2 = | 16 ± √256 + 64 |
2 |
x1,2 = | 16 ± √320 |
2 |
x1,2 = | 16 ± √2⁶·5 |
2 |
x1,2 = | 16 ± 8·√5 |
2 |
x1,2 = 8 ± 4·√5
x₁ = 8 + 4·√5
x₂ = 8 - 4·√5
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, operaciones con logaritmos