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Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales
Problema n° 1 de funciones de varias variables
Enunciado del ejercicio n° 1
Calcular la longitud de la curva (cos t, sen t, t); 0 ≤ t ≤ 1
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t2 | ||X'(t)||·dt |
| t1 |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
La curva esta dada en forma paramétrica:
C(t) = (cos t, sen t, t)
C'(t) = (-sen t, cos t, 1)
Su norma será:
||C'(t)|| = √(-sen t)² + (cos t)² + 1²
||C'(t)|| = √sen² t + cos² t + 1²
||C'(t)|| = √1 + 1
||C'(t)|| = √2
Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:
| s = ∫ | t2 | ||X'(t)||·dt |
| t1 |
| s = ∫ | 1 | √2·dt |
| 0 |
| s = √2·∫ | 1 | dt |
| 0 |
| s = √2·t | 1 |
| 0 |
Resultado, la longitud de la curva es:
S = √2
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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