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Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales
Problema n° 2 de funciones de varias variables
Enunciado del ejercicio n° 2
Calcular la longitud de la curva (R·cos t, R·sen t, h·t); 0 ≤ t ≤ 1, ℜ > 0, h > 0
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t2 | ||X'(t)||·dt |
| t1 |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
La curva esta dada en forma paramétrica:
C(t) = (R·cos t, R·sen t, h·t)
C'(t) = (-R·sen t, R·cos t, h)
Su norma será:
||C'(t)|| = √(-R·sen t)² + (R·cos t)² + h²
||C'(t)|| = √R²·sen² t + R²·cos² t + h²
||C'(t)|| = √R²·(sen² t + cos² t) + h²
||C'(t)|| = √R² + h²
Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:
| s = ∫ | t2 | ||X'(t)||·dt |
| t1 |
| s = ∫ | 2·π | √R² + h²·dt |
| 0 |
Como R y h son constantes, la longitud de la curva es:
| s = √R² + h²·∫ | 2·π | dt |
| 0 |
| s = √R² + h²·t | 2·π |
| 0 |
s = 2·π·√R² + h²
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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