Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 15 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 15

Calcular la longitud de la curva (2·t, t², log t) entre (2, 1, 0) y (4, 4, log 2)

La curva esta dada en forma paramétrica:

C(t) = (2·t, t², log t)

C'(t) = (2, 2·t, 1/t)

Su norma será:

||C'(t)|| = √2² + (2·t)² + (1/t)²

||C'(t)|| = √4 + 4·t² + 1/t²

||C'(t)|| = √(4·t² + 4·t⁴ + 1)/t²

||C'(t)|| = √(2·t² + 1)²/t²

||C'(t)|| = (2·t² + 1)/t

||C'(t)|| = 2·t + 1/t

Los límites de integración son:

2·t = 2
t = 1
t² = 1
t = ±1
log t = 0
t = 1

→ t = 1

2·t = 4
t = 2
t² = 4
t = ±2
log t = log 2
t = 2

→ t = 2

Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:

s = 2·(2²/2 - 1²/2) + log 2 - log 1

s = 2·(4/2 - ½) + log 2 - 0

s = 2·3/2 + log 2

Resultado, la longitud de la curva es:

s 3 + log 2

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.