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Solución del ejercicio n° 15 de longitud de curvas regulares. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales
Problema n° 15 de funciones de varias variables
Problema n° 15
Calcular la longitud de la curva (2·t, t², log t) entre (2, 1, 0) y (4, 4, log 2)
Desarrollo
Fórmulas:
Solución
La curva esta dada en forma paramétrica:
C(t) = (2·t, t², log t)
C'(t) = (2, 2·t, 1/t)
Su norma será:
||C'(t)|| = √2² + (2·t)² + (1/t)²
||C'(t)|| = √4 + 4·t² + 1/t²
||C'(t)|| = √(4·t² + 4·t4 + 1)/t²
||C'(t)|| = √(2·t² + 1)²/t²
||C'(t)|| = (2·t² + 1)/t
||C'(t)|| = 2·t + 1/t
Los límites de integración son:
2·t = 2 t = 1 t² = 1 t = ±1 log t = 0 t = 1 | → t = 1 |
2·t = 4 t = 2 t² = 4 t = ±2 log t = log 2 t = 2 | → t = 2 |
Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:
s = 2·(4/2 - ½) + log 2 - 0
s = 2·3/2 + log 2
Resultado, la longitud de la curva es:
s 3 + log 2
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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