Problema n° 3 de funciones de varias variables, longitud de una curva aplicando integrales - TP01

Enunciado del ejercicio n° 3

Calcular la longitud de la curva (cos 2·t, sen 2·t, 3·t); 0 ≤ t ≤ 3·π

Desarrollo

Fórmulas:

s = t₂||X'(t)||·dt
 
t₁
s = b1 + [f'(x)]²·dx
 
a

Solución

La curva esta dada en forma paramétrica:

C(t) = (cos 2·t, sen 2·t, 3·t)

C'(t) = (-2·sen 2·t, 2·cos 2·t, 3)

Su norma será:

||C'(t)|| = (-2·sen 2·t)² + (2·cos 2·t)² + 3²

||C'(t)|| = 4·sen² 2·t + 4·cos² 2·t + 9

||C'(t)|| = 4·(sen² 2·t + cos² 2·t) + 9

||C'(t)|| = 4 + 9

||C'(t)|| = 13

Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:

s = t₂||X'(t)||·dt
 
t₁
s = 3·π13·dt
 
0

Como 13 es constante:

s = 13·3·πdt
 
0
s = 13·t3·π
 
0

Resultado, la longitud de la curva es:

s = 3·π·3

Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

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