Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 3 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 3

Calcular la longitud de la curva (cos 2·t, sen 2·t, 3·t); 0 ≤ t ≤ 3·π

La curva esta dada en forma paramétrica:

C(t) = (cos 2·t, sen 2·t, 3·t)

C'(t) = (-2·sen 2·t, 2·cos 2·t, 3)

Su norma será:

||C'(t)|| = √(-2·sen 2·t)² + (2·cos 2·t)² + 3²

||C'(t)|| = √4·sen² 2·t + 4·cos² 2·t + 9

||C'(t)|| = √4·(sen² 2·t + cos² 2·t) + 9

||C'(t)|| = √4 + 9

||C'(t)|| = √13

Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:

Como √13 es constante:

Resultado, la longitud de la curva es:

s = 3·π·√3

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.