Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 4 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 4

Calcular la longitud de la curva (a·cos³ t, a·sen³ t); 0 ≤ t ≤ 2·π, a > 0

La curva esta dada en forma paramétrica:

C(t) = (a·cos³ t, a·sen³ t)

C'(t) = [-3·a·cos² t, 3·a·(sen² t)·(cos t)]

Su norma será:

||C'(t)|| = √(-3·a·cos² t·sen t)² + (3·a·sen² t·cos t)²

||C'(t)|| = √9·a²·cos⁴ t·sen² t + 9·a²·sen⁴ t·cos² t

||C'(t)|| = √9·a²·cos² t·sen² t·(sen² t + cos² t)

||C'(t)|| = √9·a²·cos² t·sen² t

||C'(t)|| = 3·a·cos t·sen t

Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:

Como "a" es constante:

Como la curva es simétrica con respecto a ambos ejes:

s = 12·a·(	sen² π/2	-	sen² 0	)
	2		2

s = 12·a·(	1	-	0	)
	2		2

Resultado, la longitud de la curva es:

s = 6·a

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.