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Problema n° 4 de funciones de varias variables TP01

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 4 de longitud de curvas regulares. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 4 de funciones de varias variables

Problema n° 4

Calcular la longitud de la curva (a·cos³ t, a·sen³ t); 0 ≤ t ≤ 2·π, a > 0

Fórmulas:

Fórmula para el cálculo de longitud de curvas empleando integrales

Solución

La curva esta dada en forma paramétrica:

C(t) = (a·cos³ t, a·sen³ t)

C'(t) = [-3·a·cos² t, 3·a·(sen² t)·(cos t)]

Su norma será:

Cálculo de la norma de una curva

Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

Como a es constante:

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

Como la curva es simétrica con respecto a ambos ejes:

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

Resultado, la longitud de la curva es:

s = 6·a

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