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Solución del ejercicio n° 5 de longitud de curvas regulares. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 5 de funciones de varias variables

Problema n° 5

Calcular la longitud de la curva R·(t - sen t, 1 - cos t); 0 ≤ t ≤ 2·π, ℜ > 0

Desarrollo

Fórmulas:

Fórmula para el cálculo de longitud de curvas empleando integrales

Solución

La curva esta dada en forma paramétrica:

C(t) = R·(t - sen t, 1 - cos t)

C'(t) = R·(1 - cos t, sen t)

Su norma será:

||C'(t)|| = R²·(1 - cos t)² + R²·sen² t

||C'(t)|| = R·1 - 2·cos t + cos² t + sen² t

||C'(t)|| = R·1 - 2·cos t + 1

||C'(t)|| = R·2 - 2·cos t

||C'(t)|| = R·2·(1 - cos t)

Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

Falta terminar

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