Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales
Problema n° 5 de funciones de varias variables
Enunciado del ejercicio n° 5
Calcular la longitud de la curva R·(t - sen t, 1 - cos t); 0 ≤ t ≤ 2·π, ℜ > 0
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t2 | ||X'(t)||·dt |
| t1 |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
La curva esta dada en forma paramétrica:
C(t) = R·(t - sen t, 1 - cos t)
C'(t) = R·(1 - cos t, sen t)
Su norma será:
||C'(t)|| = √R²·(1 - cos t)² + R²·sen² t
||C'(t)|| = R·√1 - 2·cos t + cos² t + sen² t
||C'(t)|| = R·√1 - 2·cos t + 1
||C'(t)|| = R·√2 - 2·cos t
||C'(t)|| = R·√2·(1 - cos t)
Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:
| s = ∫ | t2 | ||X'(t)||·dt |
| t1 |
| s = ∫ | 2·π | R·√2·(1 - cos t)·dt |
| 0 |
Como R es constante:
| s = R·∫ | 2·π | √2·(1 - cos t)·dt |
| 0 |
Falta terminar
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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