Fisicanet ®

Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 5 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 5

Calcular la longitud de la curva R·(t - sen t, 1 - cos t); 0 ≤ t ≤ 2·π, ℜ > 0

Desarrollo

Fórmulas:

s = t2||X'(t)||·dt
 
t1
s = b1 + [f'(x)]²·dx
 
a

Solución

La curva esta dada en forma paramétrica:

C(t) = R·(t - sen t, 1 - cos t)

C'(t) = R·(1 - cos t, sen t)

Su norma será:

||C'(t)|| = R²·(1 - cos t)² + R²·sen² t

||C'(t)|| = R·1 - 2·cos t + cos² t + sen² t

||C'(t)|| = R·1 - 2·cos t + 1

||C'(t)|| = R·2 - 2·cos t

||C'(t)|| = R·2·(1 - cos t)

Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:

s = t2||X'(t)||·dt
 
t1
s = 2·π2·(1 - cos t)·dt
 
0

Como R es constante:

s = R·2·π2·(1 - cos t)·dt
 
0

Falta terminar

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.