Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales
Problema n° 6 de funciones de varias variables
Enunciado del ejercicio n° 6
Calcular la longitud de la curva y = cosh x; 0 ≤ x ≤ 1
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t2 | ||X'(t)||·dt |
| t1 |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
f(x) = cosh x
f'(x) = senh x
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
| s = ∫ | 1 | √1 + (senh x)²·dx |
| 0 |
Como:
cosh² x - sinh² x = 1
cosh² x = 1 + sinh² x
Luego:
| s = ∫ | 1 | √cosh² x·dx |
| 0 |
| s = ∫ | 1 | cosh x·dx |
| 0 |
| s = senh x | 1 |
| 0 |
| s = ½·(ex - e-x) | 1 |
| 0 |
s = ½·(e¹ - e-1) - ½·(e0 - e-0)
s = ½·(e - e-1) - ½·(1 - 1)
Resultado, la longitud de la curva es:
s = ½·(e - 1/e)
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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