Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales
Problema n° 9 de funciones de varias variables - TP01
Enunciado del ejercicio n° 9
Calcular la longitud de la curva y = log (cos x); 0 ≤ x ≤ π/4
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t2 | ||X'(t)||·dt |
| t1 |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
f(x) = log (cos x)
f'(x) = -sen x/cos x
Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
| s = ∫ | π/4 | √1 + (-sen x/cos x)²·dx |
| 0 |
Trabajando con la integranda:
| s = ∫ | π/4 | √1/cos² x·dx |
| 0 |
| s = ∫ | π/4 | 1/cos x·dx |
| 0 |
Integrando:
| s = log ( | cos x | ) | π/4 |
| 1 - sen x | |||
| 0 |
| s = log ( | cos π/4 | - | cos 0 | ) |
| 1 - sen π/4 | 1 - sen 0 |
| s = log ( | √2 | - | ) | |||
| 2 | 1 | |||||
| 1 - | √2 | 1 - 0 | ||||
| 2 |
| s = log | √2 | - log 1 |
| 2 | ||
| 2 - √2 | ||
| 2 |
| s = log | √2 |
| 2 - √2 |
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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