Problema nº 10 de funciones de varias variables, longitud de una curva aplicando integrales - TP01

Enunciado del ejercicio nº 10

Calcular la longitud de la curva y = x²; 0 ≤ x ≤ 1

f(x) = x²

f'(x) = 2·x

Mediante un cambio de variable:

2·x = sinh t

2·dx = cosh t·dt

s = ∫ √1 + senh² t·½·cosh t·dt

Como:

cosh² x - sinh² x = 1

cosh² x = 1 + sinh² x

s = ½·∫ √cosh² t·cosh t·dt

s = ½·∫ cosh t·cosh t·dt

s = ½·∫ cosh² t·dt

Integrando:

s = [t/2 + (senh t·cosh t)/2] = (t + senh t·cosh t)/4

Reemplazando nuevamente:

s = ¼·[log (2·1 + √1 + 4·1²) + 2·1·√1 + 4·1²] - ¼·[log (2·0 + √1 + 4·0²) + 2·0·√1 + 4·0²]

s = ¼·[log (2 + √1 + 4) + 2·√1 + 4] - ¼·[log √1]

s = ¼·[log (2 + √5) + 2·√5] - ¼·log 1

s = ¼·[log (2 + √5) + 2·√5]

s = ¼·log (2 + √5) + ½·√5

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales