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Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 10 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 10

Calcular la longitud de la curva y = x²; 0 ≤ x ≤ 1

Desarrollo

Fórmulas:

s = t2||X'(t)||·dt
 
t1
s = b1 + [f'(x)]²·dx
 
a

Solución

f(x) = x²

f'(x) = 2·x

s = b1 + [f'(x)]²·dx
 
a
s = 11 + (2·x)²·dx
 
0

Mediante un cambio de variable:

2·x = sinh t

2·dx = cosh t·dt

s = 1 + senh² t·½·cosh t·dt

Como:

cosh² x - sinh² x = 1

cosh² x = 1 + sinh² x

s = ½· cosh² t·cosh t·dt

s = ½· cosh t·cosh t·dt

s = ½· cosh² t·dt

Integrando:

s = [t/2 + (senh t·cosh t)/2] = (t + senh t·cosh t)/4

Reemplazando nuevamente:

s = ¼·[log (2·x + 1 + (2·x)²) + 2·x·1 + (2·x)²]1
 
0
s = ¼·[log (2·x + 1 + 4·x²) + 2·x·1 + 4·x²]1
 
0

s = ¼·[log (2·1 + 1 + 4·1²) + 2·1·1 + 4·1²] - ¼·[log (2·0 + 1 + 4·0²) + 2·0·1 + 4·0²]

s = ¼·[log (2 + 1 + 4) + 2·1 + 4] - ¼·[log 1]

s = ¼·[log (2 + 5) + 2·5] - ¼·log 1

s = ¼·[log (2 + 5) + 2·5]

s = ¼·log (2 + 5) + ½·5

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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