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Problema n° 10 de funciones de varias variables TP01

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 10 de longitud de curvas regulares. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 10 de funciones de varias variables

Problema n° 10

Calcular la longitud de la curva y = x²; 0 ≤ x ≤ 1

Fórmulas:

Fórmula para el cálculo de longitud de curvas empleando integrales

Solución

ƒ(x) = x²

ƒ'(x) = 2·x

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

Mediante un cambio de variable:

2·x = sinh t

2·dx = cosh t·dt

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

Como:

cosh² x - sinh² x = 1

cosh² x = 1 + sinh² x

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

Integrando:

s = [t/2 + (senh t·cosh t)/2] = (t + senh t·cosh t)/4

Reemplazando nuevamente:

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

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