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Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 12 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 12

Calcular la longitud de la curva (t², t³); -2 ≤ t ≤ 1

Desarrollo

Fórmulas:

s = t2||X'(t)||·dt
 
t1
s = b1 + [f'(x)]²·dx
 
a

Solución

Gráfico de la curva

t
-24-8
-11-1
000
111

La curva esta dada en forma paramétrica:

C(t) = (t², t³)

C'(t) = (2·t, 3·t²)

Su norma será:

||C'(t)|| = (2·t)² + (3·t²)²

||C'(t)|| = 4·t² + 9·t4

||C'(t)|| = t·4 + 9·t²

Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:

s = t2||X'(t)||·dt
 
t1
s = 14 + 9·t²·dt
 
-2
s = -04 + 9·t²·dt+14 + 9·t²·dt
  
-20

Por sustitución:

u = 4 + 9·t²

du = 18·t·dt

s = (1/18)· u·du

s =1·u3/2
183/2

s = (1/18)·⅔·

s = (1/27)·

Retomando:

s = - (1/27)·(4 + 9·t²)³·dt0+ (1/27)·(4 + 9·t²)³·dt1
  
-20
s = -1·[(4 + 9·(0)²)³] - [(4 + 9·(-2)²)³] +1·[(4 + 9·(1)²)³] - [(4 + 9·(0)²)³]
2727
s = -1·[ - (4 + 9·4)³] +1·[(4 + 9)³ - ]
2727
s = -1·( - 40³) +1·(13³ - )
2727
s = -2+80·10+13·13-2
27272727
s =80·10 - 16·2 + 13·13
27

Resultado, la longitud de la curva es:

s ≈ 10,27

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