Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 13 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 13

Calcular la longitud de la curva (t, t³/6, t²/2); 0 ≤ t ≤ 2

La curva esta dada en forma paramétrica:

X = (t, t³/6, t²/2)

X' = (1, 3·t²/6, 2·t/2)

X' = (1, t²/2, t)

Su norma será:

||C'(t)|| = √1² + (½·t²)² + t²

||C'(t)|| = √1 + ¼·t⁴ + t²

||C'(t)|| = √¼·(4 + t⁴ + 4·t²)

||C'(t)|| = ½·√4 + t⁴ + 4·t²

||C'(t)|| = ½·√(t² + 2)²

||C'(t)|| = ½·(t² + 2)

Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:

s = ½·(2³/3 + 2·2) - ½·(0³/3 + 2·0)

s = ½·(8/3 + 4)

s = ½·(20/3)

Resultado, la longitud de la curva es:

s = 10/3

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.