Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 14 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 14

Calcular la longitud de la curva (cos t, sen t, log t); 1 ≤ t ≤ 2

La curva esta dada en forma paramétrica:

C(t) = (cos t, sen t, log t)

C'(t) = (-sen t, cos t, 1/t)

Su norma será:

||C'(t)|| = √(-sen t)² + (cos t)² + (1/t)²

||C'(t)|| = √sen² t + cos² t + 1/t²

||C'(t)|| = √1 + 1/t²

||C'(t)|| = (1/t)·√t² + 1

Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:

Como:

cosh² x - sinh² x = 1

cosh² x = 1 + sinh² x

Podemos cambiar de variable:

t = cosh x

dt = snh x·dx

s = ∫	1	·√cosh² x + 1·sinh x·dx
	cosh x

s = ∫	sinh x	·√sinh² x·dx
	cosh x

s = ∫	sinh x	·sinh x·dx
	cosh x

s = ∫	sinh² x	·dx
	cosh x

Falta terminar

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.