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Solución del ejercicio n° 14 de longitud de curvas regulares. Problema resuelto.Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 14 de funciones de varias variables

Problema n° 14

Calcular la longitud de la curva (cos t, sen t, log t); 1 ≤ t ≤ 2

Desarrollo

Fórmulas:

Fórmula para el cálculo de longitud de curvas empleando integrales

Solución

La curva esta dada en forma paramétrica:

C(t) = (cos t, sen t, log t)

C'(t) = (-sen t, cos t, 1/t)

Su norma será:

Cálculo de la norma de una curva

Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

Como:

cosh² x - sinh² x = 1

cosh² x = 1 + sinh² x

Podemos cambiar de variable:

t = cosh x

dt = sinh x·dx

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

Falta terminar

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