Guía de ejercicios de diferenciación. TP01

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 14 de longitud de curvas regulares. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 14 de funciones de varias variables.

Problema n° 14) Calcular la longitud de la curva (cos t, sen t, log t); 1 ≤ t ≤ 2

Fórmulas:

Fórmula para el cálculo de longitud de curvas empleando integrales

Solución

La curva esta dada en forma paramétrica:

C(t) = (cos t, sen t, log t)

C'(t) = (-sen t, cos t, 1/t)

Su norma será:

Cálculo de la norma de una curva

Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

Como:

cosh² x - sinh² x = 1

cosh² x = 1 + sinh² x

Podemos cambiar de variable:

t = cosh x

dt = sinh x·dx

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

Falta terminar

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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