Problema n° 14 de funciones de varias variables - TP01

Enunciado del ejercicio n° 14

Calcular la longitud de la curva (cos t, sen t, log t); 1 ≤ t ≤ 2

Desarrollo

Fórmulas:

s = t2||X'(t)||·dt
 
t1
s = b1 + [f'(x)]²·dx
 
a

Solución

La curva esta dada en forma paramétrica:

C(t) = (cos t, sen t, log t)

C'(t) = (-sen t, cos t, 1/t)

Su norma será:

||C'(t)|| = (-sen t)² + (cos t)² + (1/t)²

||C'(t)|| = sen² t + cos² t + 1/t²

||C'(t)|| = 1 + 1/t²

||C'(t)|| = (1/t)·t² + 1

Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:

s = t2||X'(t)||·dt
 
t1
s = 2(1/t)·t² + 1·dt
 
1

Como:

cosh² x - sinh² x = 1

cosh² x = 1 + sinh² x

Podemos cambiar de variable:

t = cosh x

dt = snh x·dx

s = 1·cosh² x + 1·sinh x·dx
cosh x
s = sinh x·sinh² x·dx
cosh x
s = sinh x·sinh x·dx
cosh x
s = sinh² x·dx
cosh x

Falta terminar

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

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