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Solución del ejercicio n° 2-e de integrales dobles en coordenadas polares. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular el área de un dominio en coordenadas polares.

Problema n° 2-e de integrales

Problema n° 2

Calcular el área de los dominios limitados por las siguientes curvas:

e.

r = θ·log θ; θ = 1, θ = e

Desarrollo

Fórmulas:

Cambio a polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

dx·dy = r·dθ·dr

D ƒ(x, y)·dx·dy = D' ƒ(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr

Área:

Fórmula para integrar el área de un dominio en coordenadas polares

Cambio a curvilíneas:

x = x(u, v)

y = y(u, v)

dx·dy = |J(u, v)|·du·dv

D ƒ(x, y)·dx·dy = D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv

Solución

Aplicando la fórmula de área:

α = 1

β = e

Cálculo del área del dominio en coordenadas polares

Integrando por partes:

u = log² θ ⇒ du = (2·log θ)/θ·dθ
dv = θ²·dθ ⇒ v = θ³/3

Cálculo del área del dominio en coordenadas polares

u = log θ ⇒ du = (1/θ)·dθ

dv = θ²·dθ ⇒ v = θ³/3

Cálculo del área del dominio en coordenadas polares

Resultado, el área del dominio limitado por la curva es:

A = 5·e³/54 - 1/27

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