Problema nº 2-e de integrales, área de un dominio en coordenadas polares
Enunciado del ejercicio nº 2
Calcular el área de los dominios limitados por las siguientes curvas:
e)
r = θ·log θ; θ = 1, θ = e
Desarrollo
Fórmulas:
Cambio a polares:
x = r·cos θ
y = r·sen θ
dx·dy = r·dθ·dr
Área:
Cambio a curvilíneas:
x = x(u, v)
y = y(u, v)
dx·dy = |J(u, v)|·du·dv
Solución
Aplicando la fórmula de área:
α = 1
β = e
Integrando por partes:
Planteamos la integral definida:
Integrando por partes:
Planteamos la integral definida:
A = ⅙·(e³·log² e - 1³·log² 1) - ⅑·(e³·log e - 1³·log 1) + (1/27)·(e³ - 1³)
A = ⅙·(e³·1 - 1·0) - ⅑·(e³·1 - 1·0) + (1/27)·(e³ - 1)
A = ⅙·e³ - ⅑·e³ + e³/27 - 1/27
A = ⅙·e³ - ⅑·e³ + e³/27 - 1/27
Resultado, el área del dominio limitado por la curva es:
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo calcular el área de un dominio en coordenadas polares.