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Ejemplo, cómo calcular el área de un dominio en coordenadas polares.
Problema n° 2-e de integrales
Enunciado del ejercicio n° 2
Calcular el área de los dominios limitados por las siguientes curvas:
e)
r = θ·log θ; θ = 1, θ = e
Desarrollo
Fórmulas:
Cambio a polares:
x = r·cos θ
y = r·sen θ
dx·dy = r·dθ·dr
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr
Área:
| A = ½·∫ | β | (r(θ))²·dθ |
| α |
Cambio a curvilíneas:
x = x(u, v)
y = y(u, v)
dx·dy = |J(u, v)|·du·dv
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv
Solución
Aplicando la fórmula de área:
α = 1
β = e
| A = ½·∫ | e | (θ·log θ)²·dθ |
| 1 |
| A = ½·∫ | e | θ²·log² θ·dθ |
| 1 |
Integrando por partes:
u = log² θ ⇒ du = (2·log θ)/θ·dθ
dv = θ²·dθ ⇒ v = θ³/3
| A = ½·[⅓·θ³·log² θ] | e | - ½·∫ | e | ⅓·θ³·[2·(log θ)/θ]·dθ |
| 1 | 1 |
| A = ⅙·[θ³·log² θ] | e | - ⅓·∫ | e | θ²·log θ·dθ |
| 1 | 1 |
u = log θ ⇒ du = (1/θ)·dθ
dv = θ²·dθ ⇒ v = θ³/3
| A = ⅙·[θ³·log² θ] | e | - ⅓·[⅓·θ³·log θ] | e | + ⅓·∫ | e | ⅓·θ³·(1/θ)·dθ |
| 1 | 1 | 1 |
| A = ⅙·[θ³·log² θ] | e | - ⅑·[θ³·log θ] | e | + ⅓·⅓·∫ | e | θ²·dθ |
| 1 | 1 | 1 |
| A = ⅙·[θ³·log² θ] | e | - ⅑·[θ³·log θ] | e | + ⅑·[⅓·θ³] | e |
| 1 | 1 | 1 |
| A = ⅙·[θ³·log² θ] | e | - ⅑·[θ³·log θ] | e | + (1/27)·[θ³] | e |
| 1 | 1 | 1 |
A = ⅙·(e³·log² e - 1³·log² 1) - ⅑·(e³·log e - 1³·log 1) + (1/27)·(e³ - 1³)
A = ⅙·(e³·1 - 1·0) - ⅑·(e³·1 - 1·0) + (1/27)·(e³ - 1)
A = ⅙·e³ - ⅑·e³ + e³/27 - 1/27
A = ⅙·e³ - ⅑·e³ + e³/27 - 1/27
| A = | 9·e³ - 6·e³ + 2·e³ | - | 1 |
| 54 | 27 |
Resultado, el área del dominio limitado por la curva es:
| A = | 5·e³ | - | 1 |
| 54 | 27 |
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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