Ejemplo, cómo calcular el área de un dominio en coordenadas polares.
Problema n° 2-f de integrales - TP01
Enunciado del ejercicio n° 2
Calcular el área de los dominios limitados por las siguientes curvas:
f)
r = √sen 2·θ
θ = 0
θ = π/2
Desarrollo
Fórmulas:
Cambio a polares:
x = r·cos θ
y = r·sen θ
dx·dy = r·dθ·dr
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr
Área:
| A = ½·∫ | β | (r(θ))²·dθ |
| α |
Cambio a curvilíneas:
x = x(u, v)
y = y(u, v)
dx·dy = |J(u, v)|·du·dv
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv
Solución
Aplicando la fórmula de área:
α = π/2
β = 0
| A = ½·∫ | π/2 | (√sen 2·θ)²·dθ |
| 0 |
| A = ½·∫ | π/2 | (sen 2·θ)·dθ |
| 0 |
| A = ½·∫ | π/2 | 2·sen θ·cos θ·dθ |
| 0 |
| A = ∫ | π/2 | sen θ·cos θ·dθ |
| 0 |
| A = ½·sen² θ | π/2 |
| 0 |
Resultado, el área del dominio limitado por la curva es:
A = ½·sen² π/2 - ½·sen² 0 = ½
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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