Problema n° 2-f de integrales - TP01

Enunciado del ejercicio n° 2

Calcular el área de los dominios limitados por las siguientes curvas:

f)

r = sen 2·θ

θ = 0

θ = π/2

Desarrollo

Fórmulas:

Cambio a polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

dx·dy = r·dθ·dr

D f(x, y)·dx·dy = D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr

Área:

A = ½·β(r(θ))²·dθ
 
α

Cambio a curvilíneas:

x = x(u, v)

y = y(u, v)

dx·dy = |J(u, v)|·du·dv

D f(x, y)·dx·dy = D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv

Solución

Aplicando la fórmula de área:

α = π/2

β = 0

A = ½·π/2(sen 2·θ)²·dθ
 
0
A = ½·π/2(sen 2·θ)·dθ
 
0
A = ½·π/22·sen θ·cos θ·dθ
 
0
A = π/2sen θ·cos θ·dθ
 
0
A = ½·sen² θπ/2
 
0

Resultado, el área del dominio limitado por la curva es:

A = ½·sen² π/2 - ½·sen² 0 = ½

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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