Problema n° 2-g de integrales - TP01

Enunciado del ejercicio n° 2

Calcular el área de los dominios limitados por las siguientes curvas:

g)

r = 3 + sen θ; r = 2 + sen θ

Desarrollo

Fórmulas:

Cambio a polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

dx·dy = r·dθ·dr

D f(x, y)·dx·dy = D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr

Área:

A = ½·β(r(θ))²·dθ
 
α

Cambio a curvilíneas:

x = x(u, v)

y = y(u, v)

dx·dy = |J(u, v)|·du·dv

D f(x, y)·dx·dy = D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv

Solución

Aplicando la fórmula de área:

A = ½·2·π[(3 + sen θ)² - (2 + sen θ)²]·dθ
 
0
A = ½·2·π[9 + 6·sen θ + sen² θ - (4 + 4·sen θ + sen² θ)]·dθ
 
0
A = ½·2·π(9 + 6·sen θ + sen² θ - 4 - 4·sen θ - sen² θ)·dθ
 
0
A = ½·2·π(5 + 2·sen θ)·dθ
 
0
A = ½·(5·θ - 2·cos θ)2·π
 
0

A = ½·(5·2·π - 2·cos 2·π) - ½·(5·0 - 2·cos 0)

A = ½·(10·π - 2·1) - ½·(-2·1)

Resultado, el área del dominio limitado por la curva es:

A = 5·π - 1 + 1 = 5·π

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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