Problema n° 2 de integrales - TP04
Enunciado del ejercicio n° 2
∫C x·y·z·ds
Donde:
C = (t², t, 1); 0 ≤ t ≤ 1
Aplicando:
| ∫C f(x)·ds = ∫ | b | f(C(t))·||C'||·dt |
| a |
Calculando las partes:
f(X) = x·y·z ⇒ f(C(t)) = t²·t·1
f(C(t)) = t³
C(t) = (t², t, 1) ⇒ C'(t) = (2·t, 1, 0)
||C'|| = √(2·t)² + 1² + 0²
||C'|| = √4·t² + 1
Armando la integral:
| ∫C x·y·z·ds = ∫ | 1 | t³·√4·t² + 1·dt |
| 0 |
Mediante un cambio de variables:
u² = 4·t² + 1
2·u·du = 8·t·dt ⇒ u·du/4 = t·dt
(u² - 1)/4 = t²
Reemplazando:
| ∫C x·y·z·ds = ∫ | 1 | t·t²·√4·t² + 1·dt = I |
| 0 |
| I = ∫ | 1 | ¼·(u² - 1)·√u²·¼·u·du |
| 0 |
| I = ¼·¼·∫ | 1 | (u² - 1)·u·u·du |
| 0 |
| I = (1/16)·∫ | 1 | (u² - 1)·u²·du |
| 0 |
| I = (1/16)·∫ | 1 | (u4 - u²)·du |
| 0 |
| I = (1/16)·[⅕·u5 - ⅓·u³] | 1 |
| 0 |
Resolviendo:
| I = (1/16)·[⅕·(√4·t² + 1)5 - ⅓·(√4·t² + 1)³] | 1 |
| 0 |
I = (1/16)·{⅕·[(√4·1² + 1)5 - (√4·0² + 1)5] - ⅓·[(√4·1² + 1)³ - (√4·0² + 1)³]}
I = (1/16)·{⅕·[(√4 + 1)5 - (√1)5] - ⅓·[(√4 + 1)³ - (√1)³]}
I = (1/16)·{⅕·[(√5)5 - (1)5] - ⅓·[(√5)³ - (1)³]}
I = (1/16)·[⅕·(25·√5 - 1) - ⅓·(5·√5 - 1)]
I = (1/16)·(1/15)·[3·(25·√5 - 1) - 5·(5·√5 - 1)]
I = (1/16)·(1/15)·[(75·√5 - 3) - (25·√5 - 5)]
I = (1/16)·(1/15)·(75·√5 - 3 - 25·√5 + 5)
I = (1/16)·(1/15)·(50·√5 + 2)
I = ⅛·(1/15)·(50·√5 + 2)
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo calcular la integral sobre una curva.