Ejemplo, cómo calcular la integral sobre una curva.

Problema n° 2 de integrales - TP04

Enunciado del ejercicio n° 2

∫_C x·y·z·ds

Donde:

C = (t², t, 1); 0 ≤ t ≤ 1

Aplicando:

Calculando las partes:

f(X) = x·y·z ⇒ f(C(t)) = t²·t·1

f(C(t)) = t³

C(t) = (t², t, 1) ⇒ C'(t) = (2·t, 1, 0)

||C'|| = √(2·t)² + 1² + 0²

||C'|| = √4·t² + 1

Armando la integral:

Mediante un cambio de variables:

u² = 4·t² + 1

2·u·du = 8·t·dt ⇒ u·du/4 = t·dt

(u² - 1)/4 = t²

Reemplazando:

Resolviendo:

I = (1/16)·{⅕·[(√4·1² + 1)⁵ - (√4·0² + 1)⁵] - ⅓·[(√4·1² + 1)³ - (√4·0² + 1)³]}

I = (1/16)·{⅕·[(√4 + 1)⁵ - (√1)⁵] - ⅓·[(√4 + 1)³ - (√1)³]}

I = (1/16)·{⅕·[(√5)⁵ - (1)⁵] - ⅓·[(√5)³ - (1)³]}

I = (1/16)·[⅕·(25·√5 - 1) - ⅓·(5·√5 - 1)]

I = (1/16)·(1/15)·[3·(25·√5 - 1) - 5·(5·√5 - 1)]

I = (1/16)·(1/15)·[(75·√5 - 3) - (25·√5 - 5)]

I = (1/16)·(1/15)·(75·√5 - 3 - 25·√5 + 5)

I = (1/16)·(1/15)·(50·√5 + 2)

I = ⅛·(1/15)·(50·√5 + 2)

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.