Problema n° 3 de integrales - TP11

Enunciado del ejercicio n° 3

Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (2·v·cos u, v·sen u, v²)

En correspondencia a (u, v) = (π/4, 1).

Desarrollo

Fórmulas:

Plano tangente: Z·(Xu×Xv) = X0·(Xu×Xv)

Recta normal: Z = X0 + t·(Xu×Xv)

Solución

Sus derivadas son:

Xu = (-2·v·sen u, v·cos u, 0)

Xv = (2·cos u, sen u, 2·v)

En el punto son:

Xu(π/4, 1) = (-2·sen π/4, cos π/4, 0)

Xu(π/4, 1) = (-2·½·2, ½·2, 0)

Xu(π/4, 1) = (-2, ½·2, 0)

Xv(π/4, 1) = (2·cos π/4, sen π/4, 2)

Xv(π/4, 1) = (2·½·2, ½·2, 2)

Xv(π/4, 1) = (2, ½·2, 2)

X0(π/4, 1) = (2·cos π/4, sen π/4, 1)

X0(π/4, 1) = (2·½·2, ½·2, 1)

X0(π/4, 1) = (2, ½·2, 1)

El producto vectorial es:

n = Xu×Xv

n = (-2, ½·2, 0)×(2, ½·2, 2)

n =E1-E2E3
-2½·20
2½·22

n = [½·2·2 - 0, -(-2·2 - 0), -2·½·2 - 2·½·2]

n = Xu×Xv = (2, 2·2, -2)

Plano tangente:

Z·(Xu×Xv) = X0·(Xu×Xv)

(x, y, z)·(2, 2·2, -2) = (2, ½·2, 1)·(2, 2·2, -2)

2·x + 2·2·y - 2·z = (2)² + (½·2)·2·2 - 2

2·x + 2·2·y - 2·z = 2 + (2)² - 2

2·x + 2·2·y - 2·z = 2

Recta Normal:

Z = X0 + t·(Xu×Xv) ⇒ (x, y, z) = (2, ½·2, 1) + t·(2, 2·2, -2)

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a una superficie

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