Ejemplo, cómo hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a una superficie

Problema n° 3 de integrales

Enunciado del ejercicio n° 3

Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (2·v·cos u, v·sen u, v²)

En correspondencia a (u, v) = (π/4, 1).

Plano tangente: Z·(X_u×X_v) = X₀·(X_u×X_v)

Recta normal: Z = X₀ + t·(X_u×X_v)

Sus derivadas son:

X_u = (-2·v·sen u, v·cos u, 0)

X_v = (2·cos u, sen u, 2·v)

En el punto son:

X_u(π/4, 1) = (-2·sen π/4, cos π/4, 0)

X_u(π/4, 1) = (-2·½·√2, ½·√2, 0)

X_u(π/4, 1) = (-√2, ½·√2, 0)

X_v(π/4, 1) = (2·cos π/4, sen π/4, 2)

X_v(π/4, 1) = (2·½·√2, ½·√2, 2)

X_v(π/4, 1) = (√2, ½·√2, 2)

X₀(π/4, 1) = (2·cos π/4, sen π/4, 1)

X₀(π/4, 1) = (2·½·√2, ½·√2, 1)

X₀(π/4, 1) = (√2, ½·√2, 1)

El producto vectorial es:

n = X_u×X_v

n = (-√2, ½·√2, 0)×(√2, ½·√2, 2)

n = [½·√2·2 - 0, -(-√2·2 - 0), -√2·½·√2 - √2·½·√2]

n = X_u×X_v = (√2, 2·√2, -2)

Plano tangente:

Z·(X_u×X_v) = X₀·(X_u×X_v)

(x, y, z)·(√2, 2·√2, -2) = (√2, ½·√2, 1)·(√2, 2·√2, -2)

√2·x + 2·√2·y - 2·z = (√2)² + (½·√2)·2·√2 - 2

√2·x + 2·√2·y - 2·z = 2 + (√2)² - 2

√2·x + 2·√2·y - 2·z = 2

Recta Normal:

Z = X₀ + t·(X_u×X_v) ⇒ (x, y, z) = (√2, ½·√2, 1) + t·(√2, 2·√2, -2)

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.