Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución

Problemas n° 1-e y 1-f de integración por sustitución - TP15

Enunciado del ejercicio n° 1-e y 1-f

Calcular las siguientes integrales por sustitución:

e) I = ∫	x² + 1	·dx
	x - 1

f) I = ∫cos³ x·sen x·dx

I = ∫	x² + 1	·dx
	x - 1

Sustituimos:

u = x - 1

u + 1 = x

Derivamos:

du = dx

Reemplazamos:

I = ∫	(u + 1)² + 1	·du
	u

I = ∫	u² + 2·u + 1 + 1	·du
	u

Separamos convenientemente en fracciones:

I = ∫(	u²	+	2·u	+	2	)·du
	u		u		u

Simplificamos:

I = ∫(u + 2 +	2	)·du
	u

La integral de una suma es la suma de las integrales:

I = ∫u·du + ∫2·du + ∫	2	·du
	u

Extraemos las constantes del signo de integral:

I = ∫u·du + 2·∫du + 2·∫	1	·du
	u

Integramos:

I =	u²	+ 2·u + 2·ln \|u\| + C
	2

Reemplazamos:

I =	(x - 1)²	+ 2·(x - 1) + 2·ln \|x - 1\| + C
	2

I = ∫cos³ x·sen x·dx

Sustituimos:

u = cos x

Derivamos:

du = -sen x·dx

-du = sen x·dx

Reemplazamos:

I = ∫-u³·du

I = -∫u³·du

Integramos:

I = -	u⁴	+ C
	4

Reemplazamos:

I = -	cos⁴ x	+ C
	4

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.