Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución

Problemas n° 1-a y 1-b de integración por sustitución - TP16

Enunciado del ejercicio n° 1-a y 1-b

Calcular las siguientes integrales por sustitución:

a) I = ∫	3·x²	·dx
	√5·x³ + 1

b) I = ∫	x² + ⅔	·dx
	√x³ + 2·x

Solución

a)

I = ∫	3·x²	·dx
	√5·x³ + 1

Sustituimos:

u = 5·x³ + 1

Derivamos:

du = 3·5·x²·dx

Despejamos convenientemente el diferencial:

⅕·du = 3·x²·dx

Reemplazamos:

I = ∫	1	·⅕·du
	√u

Extraemos la constante fuera del signo de integral:

I = ⅕·∫	1	·du
	√u

Expresamos la raíz como exponente fraccionario:

I = ⅕·∫u^-½·du

Integramos:

I = ⅕·	u^{-½ + 1}	+ C
	-½ + 1

I = ⅕·	u^½	+ C
	½

I = ⅕·2·u^½ + C

I = ⅖·√u + C

Reemplazamos:

I = ⅖·√5·x³ + 1 + C

b)

I = ∫	x² + ⅔	·dx
	√x³ + 2·x

Sumamos las fracciones en el numerador:

	3·x² + 2
I = ∫	3	·dx
I = ∫	√x³ + 2·x	·dx

I = ∫	3·x² + 2	·dx
	3·√x³ + 2·x

Sustituimos:

u = x³ + 2·x

Derivamos:

du = (3·x² + 2)·dx

Reemplazamos:

I = ⅓·∫	1	·du
	√u

Expresamos la raíz como exponente fraccionario:

I = ⅓·∫u^-½·du

Integramos:

I = ⅓·	u^{-½ + 1}	+ C
	-½ + 1

I = ⅓·	u^½	+ C
	½

I = ⅓·2·u^½ + C

I = ⅔·√u + C

Reemplazamos:

I = ⅔·√x³ + 2·x + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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