Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución
Problemas n° 1-a y 1-b de integración por sustitución - TP16
Enunciado del ejercicio n° 1-a y 1-b
Calcular las siguientes integrales por sustitución:
a) I = ∫ | 3·x² | ·dx |
√5·x³ + 1 |
b) I = ∫ | x² + ⅔ | ·dx |
√x³ + 2·x |
Solución
a)
I = ∫ | 3·x² | ·dx |
√5·x³ + 1 |
Sustituimos:
u = 5·x³ + 1
Derivamos:
du = 3·5·x²·dx
Despejamos convenientemente el diferencial:
⅕·du = 3·x²·dx
Reemplazamos:
I = ∫ | 1 | ·⅕·du |
√u |
Extraemos la constante fuera del signo de integral:
I = ⅕·∫ | 1 | ·du |
√u |
Expresamos la raíz como exponente fraccionario:
I = ⅕·∫u-½·du
Integramos:
I = ⅕· | u-½ + 1 | + C |
-½ + 1 |
I = ⅕· | u½ | + C |
½ |
I = ⅕·2·u½ + C
I = ⅖·√u + C
Reemplazamos:
I = ⅖·√5·x³ + 1 + C
b)
I = ∫ | x² + ⅔ | ·dx |
√x³ + 2·x |
Sumamos las fracciones en el numerador:
3·x² + 2 | ||
I = ∫ | 3 | ·dx |
√x³ + 2·x |
I = ∫ | 3·x² + 2 | ·dx |
3·√x³ + 2·x |
Sustituimos:
u = x³ + 2·x
Derivamos:
du = (3·x² + 2)·dx
Reemplazamos:
I = ⅓·∫ | 1 | ·du |
√u |
Expresamos la raíz como exponente fraccionario:
I = ⅓·∫u-½·du
Integramos:
I = ⅓· | u-½ + 1 | + C |
-½ + 1 |
I = ⅓· | u½ | + C |
½ |
I = ⅓·2·u½ + C
I = ⅔·√u + C
Reemplazamos:
I = ⅔·√x³ + 2·x + C
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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