Problemas n° 1-a y 1-b de integración por sustitución - TP16

Enunciado del ejercicio n° 1-a y 1-b

Calcular las siguientes integrales por sustitución:

a) I = 3·x²·dx
5·x³ + 1
b) I = x² + ⅔·dx
x³ + 2·x

Solución

a)

I = 3·x²·dx
5·x³ + 1

Sustituimos:

u = 5·x³ + 1

Derivamos:

du = 3·5·x²·dx

Despejamos convenientemente el diferencial:

⅕·du = 3·x²·dx

Reemplazamos:

I = 1·⅕·du
u

Extraemos la constante fuera del signo de integral:

I = ⅕·1·du
u

Expresamos la raíz como exponente fraccionario:

I = ⅕·u·du

Integramos:

I = ⅕·u-½ + 1+ C
-½ + 1
I = ⅕·u½+ C
½

I = ⅕·2·u½ + C

I = ⅖·u + C

Reemplazamos:

I = ⅖·5·x³ + 1 + C

b)

I = x² + ⅔·dx
x³ + 2·x

Sumamos las fracciones en el numerador:

 3·x² + 2 
I = 3·dx
x³ + 2·x
I = 3·x² + 2·dx
x³ + 2·x

Sustituimos:

u = x³ + 2·x

Derivamos:

du = (3·x² + 2)·dx

Reemplazamos:

I = ⅓·1·du
u

Expresamos la raíz como exponente fraccionario:

I = ⅓·u·du

Integramos:

I = ⅓·u-½ + 1+ C
-½ + 1
I = ⅓·u½+ C
½

I = ⅓·2·u½ + C

I = ⅔·u + C

Reemplazamos:

I = ⅔·x³ + 2·x + C

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución

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