Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución

Problemas n° 1-i y 1-j de integración por sustitución - TP16

Enunciado del ejercicio n° 1-i y 1-j

Calcular las siguientes integrales por sustitución:

i) I = ∫	x + 1	·dx
	(x - 1)²

j) I = ∫	x³	·dx
	(1 + x²)³

Solución

i)

I = ∫	x + 1	·dx
	(x - 1)²

La integral de una suma es la suma de las integrales:

I = ∫(	x	+	1	)·dx
	(x - 1)²		(x - 1)²

I = ∫	x	·dx + ∫	1	·dx
	(x - 1)²		(x - 1)²

Sustituimos:

u = x - 1

Derivamos:

du = dx

Reemplazamos:

I = ∫	u + 1	·du + ∫	1	·du
	u²		u²

I = ∫	u	·du + ∫	1	·du + ∫	1	·du
	u²		u²		u²

Simplificamos:

I = ∫	1	·du + 2·∫	1	·du
	u		u²

Integramos:

I = ln \|u\| + 2·	u^{-2 + 1}	+ C
	-2 + 1

I = ln \|u\| + 2·	u^-1	+ C
	-1

I = ln \|u\| - 2·	1	+ C
	u

Reemplazamos:

I = ln \|x - 1\| -	2	+ C
	x - 1

j)

I = ∫	x³	·dx
	(1 + x²)³

I = ∫	x²·x	·dx
	(1 + x²)³

Sustituimos:

u = 1 + x²

u - 1 = x²

Derivamos:

du = 2·x·dx

Despejamos convenientemente el diferencial:

½·du = x·dx

Reemplazamos:

I = ½·∫	u - 1	·du
	u³

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = ½·∫	u	·du - ½·∫	1	·du
	u³		u³

Simplificamos:

I = ½·∫	1	·du - ½·∫	1	·du
	u²		u³

I = ½·∫u^-2·du - ½·∫u^-3·du

Integramos:

I = ½·	u^{-2 + 1}	- ½·	u^{-3 + 1}	+ C
	-2 + 1		-3 + 1

I = ½·	u^-1	- ½·	u^-2	+ C
	-1		-2

I = -½·	1	+ ½·	1	+ C
	u		2·u²

Reemplazamos:

I = -	1	+	1	+ C
	2·(1 + x²)		4·(1 + x²)²

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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