Problemas n° 1-i y 1-j de integración por sustitución - TP16

Enunciado del ejercicio n° 1-i y 1-j

Calcular las siguientes integrales por sustitución:

i) I = x + 1·dx
(x - 1)²
j) I = ·dx
(1 + x²)³

Solución

i)

I = x + 1·dx
(x - 1)²

La integral de una suma es la suma de las integrales:

I = (x+1)·dx
(x - 1)²(x - 1)²
I = x·dx + 1·dx
(x - 1)²(x - 1)²

Sustituimos:

u = x - 1

Derivamos:

du = dx

Reemplazamos:

I = u + 1·du + 1·du
I = u·du + 1·du + 1·du

Simplificamos:

I = 1·du + 2·1·du
u

Integramos:

I = ln |u| + 2·u-2 + 1+ C
-2 + 1
I = ln |u| + 2·u-1+ C
-1
I = ln |u| - 2·1+ C
u

Reemplazamos:

I = ln |x - 1| -2+ C
x - 1

j)

I = ·dx
(1 + x²)³
I = x²·x·dx
(1 + x²)³

Sustituimos:

u = 1 + x²

u - 1 = x²

Derivamos:

du = 2·x·dx

Despejamos convenientemente el diferencial:

½·du = x·dx

Reemplazamos:

I = ½·u - 1·du

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = ½·u·du - ½·1·du

Simplificamos:

I = ½·1·du - ½·1·du

I = ½·u-2·du - ½·u-3·du

Integramos:

I = ½·u-2 + 1- ½·u-3 + 1+ C
-2 + 1-3 + 1
I = ½·u-1- ½·u-2+ C
-1-2
I = -½·1+ ½·1+ C
u2·u²

Reemplazamos:

I = -1+1+ C
2·(1 + x²)4·(1 + x²)²

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución

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