Problemas n° 1-i y 1-j de integración por sustitución - TP16
Enunciado del ejercicio n° 1-i y 1-j
Calcular las siguientes integrales por sustitución:
| i) I = ∫ | x + 1 | ·dx |
| (x - 1)² |
| j) I = ∫ | x³ | ·dx |
| (1 + x²)³ |
Solución
i)
| I = ∫ | x + 1 | ·dx |
| (x - 1)² |
La integral de una suma es la suma de las integrales:
| I = ∫( | x | + | 1 | )·dx |
| (x - 1)² | (x - 1)² |
| I = ∫ | x | ·dx + ∫ | 1 | ·dx |
| (x - 1)² | (x - 1)² |
Sustituimos:
u = x - 1
Derivamos:
du = dx
Reemplazamos:
| I = ∫ | u + 1 | ·du + ∫ | 1 | ·du |
| u² | u² |
| I = ∫ | u | ·du + ∫ | 1 | ·du + ∫ | 1 | ·du |
| u² | u² | u² |
Simplificamos:
| I = ∫ | 1 | ·du + 2·∫ | 1 | ·du |
| u | u² |
Integramos:
| I = ln |u| + 2· | u-2 + 1 | + C |
| -2 + 1 |
| I = ln |u| + 2· | u-1 | + C |
| -1 |
| I = ln |u| - 2· | 1 | + C |
| u |
Reemplazamos:
| I = ln |x - 1| - | 2 | + C |
| x - 1 |
j)
| I = ∫ | x³ | ·dx |
| (1 + x²)³ |
| I = ∫ | x²·x | ·dx |
| (1 + x²)³ |
Sustituimos:
u = 1 + x²
u - 1 = x²
Derivamos:
du = 2·x·dx
Despejamos convenientemente el diferencial:
½·du = x·dx
Reemplazamos:
| I = ½·∫ | u - 1 | ·du |
| u³ |
La integral de una diferencia es la resta de las integrales:
| I = ½·∫ | u | ·du - ½·∫ | 1 | ·du |
| u³ | u³ |
Simplificamos:
| I = ½·∫ | 1 | ·du - ½·∫ | 1 | ·du |
| u² | u³ |
I = ½·∫u-2·du - ½·∫u-3·du
Integramos:
| I = ½· | u-2 + 1 | - ½· | u-3 + 1 | + C |
| -2 + 1 | -3 + 1 |
| I = ½· | u-1 | - ½· | u-2 | + C |
| -1 | -2 |
| I = -½· | 1 | + ½· | 1 | + C |
| u | 2·u² |
Reemplazamos:
| I = - | 1 | + | 1 | + C |
| 2·(1 + x²) | 4·(1 + x²)² |
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución