Problemas n° 1-a y 1-b de integración por partes - TP18

Enunciado del ejercicio n° 1-a y 1-b

Calcular las siguientes integrales por partes:

a) I = ∫ln 2·x·dx

b) I = ∫x²·e^x·dx

Solución

Fórmulas:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

a)

I = ∫ln 2·x·dx

u = ln 2·x

dv = dx

v = x

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = x·ln 2·x - ∫dx

Integramos:

I = x·ln 2·x - x + C

b)

I = ∫x²·e^x·dx

u = x²

dv = e^x·dx

v = e^x

du = 2·x·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = x²·e^x - ∫e^x·2·x·dx

I = x²·e^x - 2·∫x·e^x·dx

Para integrar debemos aplicar nuevamente la fórmula de integración por partes:

2·∫x·e^x·dx

u = x

dv = e^x·dx

v = e^x

du = dx

2·∫x·e^x·dx = 2·(x·e^x - ∫e^x·dx)

La integral completa es:

I = x²·e^x - 2·(x·e^x - ∫e^x·dx)

Integramos:

I = x²·e^x - 2·(x·e^x - e^x) + C

I = e^x·(x² - 2·x + 2) + C

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo integrar funciones por partes