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Ejemplo, cómo integrar funciones por partes

Problemas n° 1-a y 1-b de integración por partes - TP18

Enunciado del ejercicio n° 1-a y 1-b

Calcular las siguientes integrales por partes:

a) I = ln 2·x·dx

b) I = x²·ex·dx

Solución

Fórmulas:

u·dv = u·v - v·du

a)

I = ln 2·x·dx

u = ln 2·x

dv = dx

v = x

du =1·2·dx
2·x
du =1·dx
x

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

u·dv = u·v - v·du

I = x·ln 2·x - 1·dx
x

I = x·ln 2·x - dx

Integramos:

I = x·ln 2·x - x + C

b)

I = x²·ex·dx

u = x²

dv = ex·dx

v = ex

du = 2·x·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

u·dv = u·v - v·du

I = x²·ex - ex·2·x·dx

I = x²·ex - 2·x·ex·dx

Para integrar debemos aplicar nuevamente la fórmula de integración por partes:

x·ex·dx

u = x

dv = ex·dx

v = ex

du = dx

x·ex·dx = 2·(x·ex - ex·dx)

La integral completa es:

I = x²·ex - 2·(x·ex - ex·dx)

Integramos:

I = x²·ex - 2·(x·ex - ex) + C

I = ex·(x² - 2·x + 2) + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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