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Ejemplo, cómo integrar funciones por partes

Problemas n° 1-c y 1-d de integración por partes - TP18

Enunciado del ejercicio n° 1-c y 1-d

Calcular las siguientes integrales por partes:

c) I = ex·sen x·dx

d) I = 1 + x·ln (x + 1)·dx

Solución

Fórmulas:

u·dv = u·v - v·du

c)

I = ex·sen x·dx

u = ex

dv = sen x·dx

v = -cos x

du = ex·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

u·dv = u·v - v·du

I = ex·(-cos x) - -cos x·ex·dx

I = -ex·cos x + cos x·ex·dx

Para integrar debemos aplicar nuevamente la fórmula de integración por partes:

u = ex

dv = cos x·dx

v = sen x

du = ex·dx

I = -ex·cos x + ex·sen x - sen x·ex·dx

Pero:

I = ex·sen x·dx = -ex·cos x + ex·sen x - sen x·ex·dx

ex·sen x·dx = -ex·cos x + ex·sen x

I = ½·ex·(sen x - cos x) + C

d)

I = 1 + x·ln (x + 1)·dx

I = (x + 1)½·ln (x + 1)·dx

u = ln (x + 1)

dv = (x + 1)½·dx

v = ⅔·(x + 1)3/2

du =1·dx
x + 1

du = (x + 1)-1·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

u·dv = u·v - v·du

I = ⅔·(x + 1)3/2·ln (x + 1) - ⅔·(x + 1)3/2·(x + 1)-1·dx

I = ⅔·(x + 1)3/2·ln (x + 1) - ⅔·(x + 1)3/2 - 1·dx

I = ⅔·(x + 1)3/2·ln (x + 1) - ⅔·(x + 1)½·dx

Aplicamos integración por sustitución para el segundo término:

u = x + 1

Derivamos:

du = dx

Reemplazamos:

(x + 1)½·dx = u½·du

Integramos:

(x + 1)½·dx = ⅔·u3/2

Reemplazamos:

(x + 1)½·dx = ⅔·(x + 1)3/2

La integral completa es:

I = ⅔·(x + 1)3/2·ln (x + 1) - ⅔·⅔·(x + 1)3/2

I = ⅔·(1 + x)3/2·[ln (x + 1) - ⅔] + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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