Ejemplo, cómo integrar funciones por partes

Problemas n° 1-c y 1-d de integración por partes - TP18

Enunciado del ejercicio n° 1-c y 1-d

Calcular las siguientes integrales por partes:

c) I = ∫e^x·sen x·dx

d) I = ∫√1 + x·ln (x + 1)·dx

Solución

Fórmulas:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

c)

I = ∫e^x·sen x·dx

u = e^x

dv = sen x·dx

v = -cos x

du = e^x·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = e^x·(-cos x) - ∫-cos x·e^x·dx

I = -e^x·cos x + ∫cos x·e^x·dx

Para integrar debemos aplicar nuevamente la fórmula de integración por partes:

u = e^x

dv = cos x·dx

v = sen x

du = e^x·dx

I = -e^x·cos x + e^x·sen x - ∫sen x·e^x·dx

Pero:

I = ∫e^x·sen x·dx = -e^x·cos x + e^x·sen x - ∫sen x·e^x·dx

2·∫e^x·sen x·dx = -e^x·cos x + e^x·sen x

I = ½·e^x·(sen x - cos x) + C

d)

I = ∫√1 + x·ln (x + 1)·dx

I = ∫(x + 1)^½·ln (x + 1)·dx

u = ln (x + 1)

dv = (x + 1)^½·dx

v = ⅔·(x + 1)^3/2

du =	1	·dx
	x + 1

du = (x + 1)^-1·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = ⅔·(x + 1)^3/2·ln (x + 1) - ∫⅔·(x + 1)^3/2·(x + 1)^-1·dx

I = ⅔·(x + 1)^3/2·ln (x + 1) - ⅔·∫(x + 1)^{3/2 - 1}·dx

I = ⅔·(x + 1)^3/2·ln (x + 1) - ⅔·∫(x + 1)^½·dx

Aplicamos integración por sustitución para el segundo término:

u = x + 1

Derivamos:

du = dx

Reemplazamos:

∫(x + 1)^½·dx = ∫u^½·du

Integramos:

∫(x + 1)^½·dx = ⅔·u^3/2

Reemplazamos:

∫(x + 1)^½·dx = ⅔·(x + 1)^3/2

La integral completa es:

I = ⅔·(x + 1)^3/2·ln (x + 1) - ⅔·⅔·(x + 1)^3/2

I = ⅔·(1 + x)^3/2·[ln (x + 1) - ⅔] + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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