Ejemplo, cómo integrar funciones por partes
Problemas n° 1-c y 1-d de integración por partes - TP18
Enunciado del ejercicio n° 1-c y 1-d
Calcular las siguientes integrales por partes:
c) I = ∫ex·sen x·dx
d) I = ∫√1 + x·ln (x + 1)·dx
Solución
Fórmulas:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
c)
I = ∫ex·sen x·dx
u = ex
dv = sen x·dx
v = -cos x
du = ex·dx
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
I = ex·(-cos x) - ∫-cos x·ex·dx
I = -ex·cos x + ∫cos x·ex·dx
Para integrar debemos aplicar nuevamente la fórmula de integración por partes:
u = ex
dv = cos x·dx
v = sen x
du = ex·dx
I = -ex·cos x + ex·sen x - ∫sen x·ex·dx
Pero:
I = ∫ex·sen x·dx = -ex·cos x + ex·sen x - ∫sen x·ex·dx
2·∫ex·sen x·dx = -ex·cos x + ex·sen x
I = ½·ex·(sen x - cos x) + C
d)
I = ∫√1 + x·ln (x + 1)·dx
I = ∫(x + 1)½·ln (x + 1)·dx
u = ln (x + 1)
dv = (x + 1)½·dx
v = ⅔·(x + 1)3/2
du = | 1 | ·dx |
x + 1 |
du = (x + 1)-1·dx
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
I = ⅔·(x + 1)3/2·ln (x + 1) - ∫⅔·(x + 1)3/2·(x + 1)-1·dx
I = ⅔·(x + 1)3/2·ln (x + 1) - ⅔·∫(x + 1)3/2 - 1·dx
I = ⅔·(x + 1)3/2·ln (x + 1) - ⅔·∫(x + 1)½·dx
Aplicamos integración por sustitución para el segundo término:
u = x + 1
Derivamos:
du = dx
Reemplazamos:
∫(x + 1)½·dx = ∫u½·du
Integramos:
∫(x + 1)½·dx = ⅔·u3/2
Reemplazamos:
∫(x + 1)½·dx = ⅔·(x + 1)3/2
La integral completa es:
I = ⅔·(x + 1)3/2·ln (x + 1) - ⅔·⅔·(x + 1)3/2
I = ⅔·(1 + x)3/2·[ln (x + 1) - ⅔] + C
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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