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Ejemplo, cómo integrar funciones por partes

Problemas n° 1-k y 1-l de integración por partes - TP18

Enunciado del ejercicio n° 1-k y 1-l

Calcular las siguientes integrales por partes:

k) I = ln x·dx
(x + 1)²

l) I = ex·sen x·cos x·dx

Solución

Fórmulas:

u·dv = u·v - v·du

k)

I = ln x·dx
(x + 1)²

I = (x + 1)-2·ln x·dx

u = ln x

dv = (x + 1)-2·dx

v =(x + 1)-2 + 1
-2 + 1
v =(x + 1)-1
-1
v =-1
x + 1
du =1·dx
x

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

u·dv = u·v - v·du

I =-1·ln x - -1·1·dx
x + 1x + 1x
I = -ln x+ 1·dx
x + 1x·(x + 1)

Aplicamos el método de integración por descomposición en fracciones simples:

I = -ln x+ [A·(x + 1)+B·x]·dx
x + 1x·(x + 1)x·(x + 1)
I = -ln x+ A·x + A + B·x·dx
x + 1x·(x + 1)
I = -ln x+ (A + B)·x + A·dx
x + 1x·(x + 1)

De donde A + B = 0 y A = 1, por lo tanto B = -1.

Reemplazamos los valores hallados:

I = -ln x+ [1·(x + 1)+-1·x]·dx
x + 1x·(x + 1)x·(x + 1)
I = -ln x+ [x + 1-x]·dx
x + 1x·(x + 1)x·(x + 1)

Simplificamos:

I = -ln x+ (1-1)·dx
x + 1xx + 1
I = -ln x+ 1·dx - 1·dx
x + 1xx + 1

Integramos:

I = -ln x+ ln |x| - ln |x + 1| + C
x + 1

l)

I = ex·sen x·cos x·dx

Por las propiedades trigonométrica:

sen 2·x = 2·sen x·cos x

½·sen 2·x = sen x·cos x

Reemplazamos en la integral:

I = ½·ex·sen 2·x·dx

u = sen 2·x

dv = ex·dx

v = ex

du = 2·cos 2·x·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

u·dv = u·v - v·du

I = ½·[ex·sen 2·x - ex·2·cos 2·x·dx]

I = ½·ex·sen 2·x - ½·2·ex·cos 2·x·dx

Para integrar el segundo término debemos aplicar nuevamente la fórmula de integración por partes:

u = cos 2·x

dv = ex·dx

v = ex

du = -2·sen 2·x·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

I = ½·ex·sen 2·x - [ex·cos 2·x - ex·(-2·sen 2·x)·dx]

I = ½·ex·sen 2·x - (ex·cos 2·x + 2·ex·sen 2·x·dx)

I = ½·ex·sen 2·x - ex·cos 2·x - 2·ex·sen 2·x·dx

El último término es igual a la integral inicial.

I = ½·ex·sen 2·x·dx = ½·ex·sen 2·x - ex·cos 2·x - 2·ex·sen 2·x·dx

Pasamos el término:

I = ½·ex·sen 2·x·dx + 2·ex·sen 2·x·dx = ½·ex·sen 2·x - ex·cos 2·x

Sumamos las fracciones:

I =1 + 4·ex·sen 2·x·dx =1(ex·sen 2·x - 2·ex·cos 2·x)·dx
22
I =5·ex·sen 2·x·dx =1(ex·sen 2·x - 2·ex·cos 2·x)·dx
22

Despejamos y simplificamos:

I =1·ex·sen 2·x·dx =1(ex·sen 2·x - 2·ex·cos 2·x)·dx
25·2
I =ex·(sen 2·x - 2·cos 2·x) + C
10

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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