Enunciado del ejercicio nº 1-k y 1-l

Calcular las siguientes integrales por partes:

k)

l)

Solución

Fórmulas:

k)

u = ln x

dv = (x + 1)⁻²·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

Aplicamos el método de integración por descomposición en fracciones simples:

De donde A + B = 0 y A = 1, por lo tanto, B = -1.

Reemplazamos los valores hallados:

Simplificamos:

Integramos:

• Respuesta:

l)

Por las propiedades trigonométricas:

sen 2·x = 2·sen x·cos x

½·sen 2·x = sen x·cos x

Reemplazamos en la integral:

u = sen 2·x

dv = eˣ·dx

v = eˣ

du = 2·cos 2·x·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

Para integrar el segundo término debemos aplicar nuevamente la fórmula de integración por partes:

u = cos 2·x

dv = eˣ·dx

v = eˣ

du = -2·sen 2·x·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

El último término es igual a la integral inicial.

Pasamos el término:

Sumamos las fracciones:

Despejamos y simplificamos:

• Respuesta:

Resolvió: . Argentina