Problemas n° 1-k y 1-l de integración por partes - TP18

Enunciado del ejercicio n° 1-k y 1-l

Calcular las siguientes integrales por partes:

k) I = ∫	ln x	·dx
	(x + 1)²

l) I = ∫e^x·sen x·cos x·dx

Solución

Fórmulas:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = ∫	ln x	·dx
	(x + 1)²

I = ∫(x + 1)^-2·ln x·dx

u = ln x

dv = (x + 1)^-2·dx

v =	(x + 1)^{-2 + 1}
	-2 + 1

v =	(x + 1)^-1
	-1

v =	-1
	x + 1

du =	1	·dx
	x

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I =	-1	·ln x - ∫	-1	·	1	·dx
	x + 1		x + 1		x

I = -	ln x	+ ∫	1	·dx
	x + 1		x·(x + 1)

Aplicamos el método de integración por descomposición en fracciones simples:

I = -	ln x	+ ∫[	A·(x + 1)	+	B·x	]·dx
	x + 1		x·(x + 1)		x·(x + 1)

I = -	ln x	+ ∫	A·x + A + B·x	·dx
	x + 1		x·(x + 1)

I = -	ln x	+ ∫	(A + B)·x + A	·dx
	x + 1		x·(x + 1)

De donde A + B = 0 y A = 1, por lo tanto B = -1.

Reemplazamos los valores hallados:

I = -	ln x	+ ∫[	1·(x + 1)	+	-1·x	]·dx
	x + 1		x·(x + 1)		x·(x + 1)

I = -	ln x	+ ∫[	x + 1	-	x	]·dx
	x + 1		x·(x + 1)		x·(x + 1)

Simplificamos:

I = -	ln x	+ ∫(	1	-	1	)·dx
	x + 1		x		x + 1

I = -	ln x	+ ∫	1	·dx - ∫	1	·dx
	x + 1		x		x + 1

Integramos:

I = -	ln x	+ ln \|x\| - ln \|x + 1\| + C
	x + 1

I = ∫e^x·sen x·cos x·dx

Por las propiedades trigonométrica:

sen 2·x = 2·sen x·cos x

½·sen 2·x = sen x·cos x

Reemplazamos en la integral:

I = ½·∫e^x·sen 2·x·dx

u = sen 2·x

dv = e^x·dx

v = e^x

du = 2·cos 2·x·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = ½·[e^x·sen 2·x - ∫e^x·2·cos 2·x·dx]

I = ½·e^x·sen 2·x - ½·2·∫e^x·cos 2·x·dx

Para integrar el segundo término debemos aplicar nuevamente la fórmula de integración por partes:

u = cos 2·x

dv = e^x·dx

v = e^x

du = -2·sen 2·x·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

I = ½·e^x·sen 2·x - [e^x·cos 2·x - ∫e^x·(-2·sen 2·x)·dx]

I = ½·e^x·sen 2·x - (e^x·cos 2·x + 2·∫e^x·sen 2·x·dx)

I = ½·e^x·sen 2·x - e^x·cos 2·x - 2·∫e^x·sen 2·x·dx

El último término es igual a la integral inicial.

I = ½·∫e^x·sen 2·x·dx = ½·e^x·sen 2·x - e^x·cos 2·x - 2·∫e^x·sen 2·x·dx

Pasamos el término:

I = ½·∫e^x·sen 2·x·dx + 2·∫e^x·sen 2·x·dx = ½·e^x·sen 2·x - e^x·cos 2·x

Sumamos las fracciones:

I =	1 + 4	·∫e^x·sen 2·x·dx =	1	(e^x·sen 2·x - 2·e^x·cos 2·x)·dx
	2		2

I =	5	·∫e^x·sen 2·x·dx =	1	(e^x·sen 2·x - 2·e^x·cos 2·x)·dx
	2		2

Despejamos y simplificamos:

I =	1	·∫e^x·sen 2·x·dx =	1	(e^x·sen 2·x - 2·e^x·cos 2·x)·dx
	2		5·2

I =	e^x	·(sen 2·x - 2·cos 2·x) + C
	10

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo integrar funciones por partes