Problemas n° 1-e y 1-f de integración por partes - TP18
Enunciado del ejercicio n° 1-e y 1-f
Calcular las siguientes integrales por partes:
e) I = ∫arc tg 5·x·dx
f) I = ∫x·arc cos x·dx
Solución
Fórmulas:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
e)
I = ∫arc tg 5·x·dx
u = arc tg 5·x
dv = dx
v = x
| du = | 5 | ·dx |
| 1 + 25·x² |
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
| I = x·arc tg 5·x - ∫ | 5·x | ·dx |
| 1 + 25·x² |
| I = x·arc tg 5·x - 5·∫ | x | ·dx |
| 1 + 25·x² |
Aplicamos integración por sustitución para el segundo término:
u = 1 + 25·x²
Derivamos:
du = 2·25·x·dx
| du | ·x·dx |
| 50 |
Integramos:
| ∫ | 1 | ·du = | 1 | ·ln |u| |
| 50·u | 50 |
Reemplazamos:
| I = x·arc tg 5·x - 5· | 1 | ·ln (1 + 25·x²) + C |
| 50 |
| I = x·arc tg 5·x - | 1 | ·ln (1 + 25·x²) + C |
| 10 |
f)
I = ∫x·arc cos x·dx
u = arc cos x
dv = x·dx
| du = - | 1 | ·dx |
| (1 - x²)½ |
v = ½·x²
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
| I = ½·x²·arc cos x - ∫½·x²· | -1 | ·dx |
| (1 - x²)½ |
| I = ½·x²·arc cos x + ½·∫ | x² | ·dx |
| (1 - x²)½ |
Aplicamos integración por sustitución trigonométrica para el segundo término:
x = sen t
(1 - x²)½ = cos t
| ∫ | x² | ·dx = ∫sen² t·dt = ∫ | 1 - cos 2·t | ·dt |
| (1 - x²)½ | 2 |
| ∫ | x² | ·dx = ½·∫(1 - cos 2·t)·dt |
| (1 - x²)½ |
Integramos:
| ∫ | x² | ·dx = ½·(t - ½·sen 2·t) |
| (1 - x²)½ |
| ∫ | x² | ·dx = ½·(t - ½·2·sen t·cos t) |
| (1 - x²)½ |
Reemplazamos:
| ∫ | x² | ·dx = ½·[arc sen x - x·(1 - x²)½] |
| (1 - x²)½ |
La integral completa es:
I = ½·x²·arc cos x + ½·½·[arc sen x - x·(1 - x²)½] + C
I = ½·x²·arc cos x + ¼·arc sen x - ¼·x·(1 - x²)½ + C
I = ½·arc cos x + ¼·arc sen x - ¼·x·√1 - x² + C
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo integrar funciones por partes